立体几何解题技巧

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1、23高中数学 新梦想教育中心 授课老师;沈源立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点:1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面

2、角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角:“六个距离”:1两点间距离 2点P到线l的距离 (Q是直线l上任意一点,u为过点P的直线l法向量)3两异面直线的距离 (P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量)4点P到平面的距离 (Q是平面上任意一点,u为平面法向量)5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”:1异面直线角【0,】cos= 【辨】直线倾斜角范围【0,)2线面角 【0,】sin= 或者解三角形3二面角 【0,】cos 或者找垂直线,解三角形不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完

3、成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 其中,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定,是解决立体几何问题这套强有力的工具时,使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1(福建卷)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点ABCD()求证:平面;()求二面角的大小;()求点到平面的距离考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象

4、能力、逻辑思维能力和运算能力 解:解法一:()取中点,连结ABCDOF为正三角形,正三棱柱中,平面平面,平面连结,在正方形中,分别为的中点, , 在正方形中, 平面()设与交于点,在平面中,作于,连结,由()得平面, 为二面角的平面角在中,由等面积法可求得,又, 所以二面角的大小为()中,在正三棱柱中,到平面的距离为设点到平面的距离为由,得,点到平面的距离为解法二:()取中点,连结为正三角形,在正三棱柱中,平面平面,平面xzABCDOFy取中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,平面()设平面的法向量为, ,令得为平面的一个法向量由()知平面,为平面的法向量,二面角的大小为(

5、)由(),为平面法向量,点到平面的距离小结:本例中()采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.考点2 异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.思路启迪:由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面直线的距离

6、,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离.解: 如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,为的中位线,面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,在Rt中,在Rt中,又由于,即,解得故CD与SE间的距离为.小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程.考点3 直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例3 如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪:把线面距离转化

7、为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.解:解法一 平面,上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点O平面的距离,,平面,又平面平面,两个平面的交线是,作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.在中,.又.即BD到平面的距离等于.解法二 平面,上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则 , 即BD到平面的距离等于.小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角【重难点】

8、此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.典型例题例4如图,在中,斜边可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角是的中点(I)求证:平面平面;(II)求异面直线与所成角的大小思路启迪:(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解:解法1:(I)由题意,是二面角是直二面角,又,平面,又平面平面平面(II)作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角在中,又在中,异面直线与所成角的大小为解法2:(I)同解法1(II)建立空间直角坐标系,如图,则,异面直线与所成角的大小为小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:平移法:在异面直线中

9、的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:.考点5 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常考内容.典型例题例5(全国卷理)四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面已知,()证明;()求直线与平面所成角的大小考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,

10、考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解:解法一:()作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面因为,所以,又,故为等腰直角三角形,由三垂线定理,得DBCAS()由()知,依题设,故,由,得,的面积连结,得的面积设到平面的距离为,由于,得,解得设与平面所成角为,则所以,直线与平面所成的我为解法二:()作,垂足为,连结,由侧面底面,得平面因为,所以DBCAS又,为等腰直角三角形,如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,所以()取中点,连结,取中点,连结,与平面内两条相交直线,垂直所以平面,与的夹角记为,与平面所成的角记为,则与互余,所以,直线与平面所成的角为小结:求直线与平面所成的角时,应注

11、意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,计算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.考点6 二面角【重点】此类题主要是如何确定二面角的平面角,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点典型例题例6(湖南卷)如图,已知直角,直线和平面所成二面的角为(I)证明; ABCQP(II)求二面角的大小命题目的:本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引:(I)在平面内过点作于点,连结ABCQPOH因

12、为,所以,又因为,所以而,所以,从而,又,所以平面因为平面,故(II)解法一:由(I)知,又,所以过点作于点,连结,由三垂线定理知,故是二面角的平面角由(I)知,所以是和平面所成的角,则,不妨设,则,在中,所以,于是在中,故二面角的大小为解法二:由(I)知,故可以为原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图)因为,所以是和平面所成的角,则不妨设,则,ABCQPOxyz在中,所以则相关各点的坐标分别是,所以,设是平面的一个法向量,由得取,得易知是平面的一个法向量设二面角的平面角为,由图可知,所以故二面角的大小为小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角

13、的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.【课后练习】如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD,AD=CD=2AB, E、F分别为PC、CD的中点.()试证:CD平面BEF;()设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.过程指引:方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.【高考热点】空间几何体的表面积与体积(一 )空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积:

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