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1、第六章 定积分及其应用1 证明：设为上连续且非负，则的充要条件为在上恒为零，即。证明：充分性是显然的，以下证明必要性。法1：反证法。若存在为的某一连续点，且，则，使 ，从而有与已知矛盾。从而结论成立。法2：对一切的有从而 ，。那么 即 。2利用定积分求极限： 1）； 2）。 解：1）2） 3设在上为连续函数，为单调的连续可微函数。证明：存在，使得 。 证明：这是加强条件的积分第二中值定理，有一个不难的证明。设 ，则有 由假设为单调函数，故不变号，从而，使得 4设连续，求。 解：令 ，则所以 。5设连续，且，求。 解：令 ，对两边积分有：所以 。则 。6设在区间上可微，且满足条件。试证：存在，使
2、 。证明：令 ，则存在，使 又由在上连续，在内可导且，由Rolle定理可知：存在，使。即 。7设在区间上是连续且递增的函数，证明： 。 证明：法1：只要证 令 ，则。 所以为递增的函数，因此。法2：由递增，所以。因此即 法3： 8设在上单调减少且连续，证明：对，恒有不等式 。 证明：法1：令 ，则在上连续，在内可导，且，所以使 由于在上单调减少且连续，则当时，当时，；即是的最大值点；的最小值只能在端点取得，又，所以。命题得证。 法2： 。 法3：其中 ，。又在上单调减少，则。故原命题得证。法4：故原命题得证。9证明：。 证明：左= 右= = 左10证明： （）。 证明：左=， 令 ，则左=又令
3、 ，则有 所以左 右 。11设，求。 解：法1：令 ，则 ， 法2：即 原式 12若函数在上有连续导数，且，证明： 。证明：由 ，利用Cauchy-Schwarz不等式 同理由 ，记，于是 13证明Cauchy-Schwarz不等式：若和都在上可积，则有 证明：法1： 对任意实数上式右端是的二次三项式，则其判别式非正，即 故原式得证。法2：令 ，则。 所以在上单调递增，即 。14（Young不等式）设（）是严格单调增加的连续函数，。是它的反函数，求证： （，）等号仅当时成立。证明：1先证 成立。 （2）由是严格单调增加的连续函数，故在也是严格单调增加的连续函数，故式（2）中的积分有意义。将等份
4、，记分点为 相应的点（）构成区间的一个划分。由在连续，故一致连续，故当时，对上述划分有： 故 故式（2）得证。2由式（2）可知，若，则所要证的不等式中等号成立。3若，则由的连续性可知，存在，使，于是 （） 4若的情形，只要将看成的反函数，即可由3的结论得到。5联系2、3、4可知所要证明的不等式成立。当且仅当时等号成立。15证明Minkowski不等式：若和都在上可积，则有 其更一般的形式是（）。证明： 又由Cauchy-Schwarz不等式得 所以 从而 16计算下列积分的值（1） （2） （3） 解：（1）。（2）。（3）。17设在上连续，在内有，证明存在唯一的使曲线与，所围图形的面积是曲线
5、与，所围图形的面积的三倍。证明：设对任意，则，令 ，。问题是要证明存在唯一的使。显然在上连续，且则存在使。又，即单增，故存在唯一的使。18求摆线，的一拱（），与轴所围图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：本题用柱壳法求较易。故 19半径为、比重为的球沉入水中。试求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重与水相同，处于悬浮状态，因此可设初始时刻球的顶部与水面相齐；而且把球从水中提出的作功问题，相当于把球形水罐中的水从顶部全部抽出的作功问题。只是这里在把球的每一薄片提升至水面时并不需要作功，需要克服重力作功的是将它继续提升至使整个球离开水面的那一段距离。解：设球的顶与水面相切，以水平面为轴，以球的直径为轴，方向垂直相下建立直角坐标系。将球从水平面提升时，深度为的那一薄片（厚度为）从水面提升的距离为，则提升这一薄片需作功为 则
