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1、第31讲 图形的相似,浙江专用,比例线段,比例中项,黄金分割,ABBC,两,0.618,比例,比例,4相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做_ 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的_ 5相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似,相似三角形,相
2、似比,6相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角_，对应边_ (2)相似多边形周长之比等于_，面积之比等于_ 8位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅_，而且对应顶点的连线相交于_，这样的图形叫做位似图形这个点叫做_ (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_ (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或k.,相等,成比例,相似比,相似比的平方,相似,一点,位似中心,位似比
3、,4分类讨论思想 近几年中考常出现有关相似形的多解问题，这类题特征是不给出几何图形，要求分类讨论，不要漏解,B,2(2016盐城)如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有( ) A0个 B1个 C2个 D3个,C,B,D,比例的基本性质、黄金分割,D,D,A矩形ABFE B矩形EFCD C矩形EFGH D矩形DCGH,A,三角形相似的性质及判定,【例2】 (2016泰州)如图，ABC中，ABAC，E在BA的延长线上，AD平分CAE. (1)求证：ADBC； (2)过点C作CGAD于点F，交AE于点G，若AF4，求BC
4、的长,【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质注意证得AGFBGC是解题的关键,对应训练 2(2016临夏州)如图，已知ECAB，EDAABF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)求证：OA2OEOF.,相似三角形综合问题,【例3】 (2016呼和浩特)如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC. (1)求证：FBCFCB； (2)已知FAFD12，若AB是ABC外接圆的直径，FA2，求CD的长,【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数等知识，证明三角形相似是解决问题的关键,相似多
5、边形与位似图形,【例4】 (2015漳州)如图，在1010的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形ABCD，使它与四边形ABCD位似，且位似比为2. (1)在图中画出四边形ABCD； (2)填空：ACD是_三角形,等腰直角,解：(1)如图所示 (2)AC24282166480，AD2622236440，CD2622236440，ADCD，AD2CD2AC2，ACD是等腰直角三角形,【点评】 画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连结并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连结上述各点，得到放大或缩小的图形同时考查了勾
6、股定理及其逆定理等知识熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键,A,(8，3)或(4，3),审题视角 三角形内从两个顶点出发，分别与其对边相交的线段，它们又相交于一点这时，三角形的两边、上述两条相交线段均被有关分点分成不同的线段比，这些线段的比之间存在相互依存和制约的关系，知道其中任意两条线段被分点分成的比，就可以求出其他任一线段被分点所分成的比 这一问题的解决办法，主要是利用平行线(作辅助线)辅助线的作法：主要是过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线，构成两对相似三角形本题可以过点E作EGCD交AB于点G，则有BEGBCD，ADOAGE.本题也可过点D作AE的平行线，同样也可以求得相关
7、的比值,答题思路 第一步：审题，理解问题，清楚问题中的已知条件与未知结论； 第二步：过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线，构成两对相似三角形； 第三步：根据相似三角形的性质，得出与欲求分比线段相关联的两线段的比值； 第四步：根据比例的性质逐步求得欲求分比线段的比值； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤,剖析 (1)此题中，RtABC与RtADC中，ACBADC90，B可能与ACD相等，也可能与CAD相等，三角形ABC与ADC相似可能是ABCACD或ABCCAD.根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论 (2)分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法 (3)在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现,
