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1、第18讲 三角形与全等三角形,浙江专用,1三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和_第三边；三角形的内角和等于_三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的_三角形具有稳定性 2三角形的分类 按角可分为_和_，按边可分为_和_,大于,180,直角三角形,斜三角形,不等边三角形,等腰三角形,和,3三角形的主要线段,4.全等三角形的性质和判定 (1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等 (2)判定： _对应相等的两个三角形全等(SAS)； _对应相等的两个三角形全等(ASA)； _对应相等的两个三角形全等(AA
2、S)； _对应相等的两个三角形全等(SSS)； _对应相等的两个直角三角形全等(HL),两边和夹角,两角和夹边,两角和其中一角的对边,三边,斜边和一条直角边,1判断三条线段能否构成三角形时，要注意不能只考察任意两边之和大于第三边就下结论，应该按照较小两边的和是否大于最大边来判断 2三角形的中位线与中线的区别：三角形的中线是连结顶点与对边中点的线段，而中位线是连结三角形两边中点的线段 3三角形内外角性质的运用技巧 进行三角形角度计算时，常常利用方程求解 4构造三角形中位线 有关中点问题，常作辅助线构造三角形中位线，利用三角形中位线解决问题 5证明三角形全等的三种基本思路 (1)有两边对应相等时，
3、找夹角相等或第三边对应相等； (2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等； (3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等 另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件,1(2016西宁)下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A3 cm，4 cm，8 cm B8 cm，7 cm，15 cm C5 cm，5 cm，11 cm D13 cm，12 cm，20 cm 2(2016金华)如图，已知ABCBAD，添加下列条件还不能判定ABCBAD的是( ) AACBD BCABDBA CCD DBCAD,D,A,3(2016丽水)如图，
4、在ABC中，A63，直线MNBC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若AEN133，则B的度数为_,70,4(2016金华)如图，已知ABCD，BCDE，若A20，C120，则AED的度数是_,80,三角形的三边关系,A,1c5,【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围是|ab|cab.,A,4,三角形的内角、外角的性质,【例2】 (1)如图，把一块含有30角(A30)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形CDEF的一个顶点C处，矩形的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果140，那么AFE( )
5、A50 B40 C20 D10,D,(2)一个零件的形状如图所示，按规定A90，B和C分别是32和21，检验工人量得BDC148，就断定这个零件不合格，请说明理由,解：延长BD交AC于E(图略)DEC是ABE的外角，DECAB9032122.同理BDCCDEC21122143148，这个零件不合格 【点评】 有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”,对应训练 2(1)(2016乐山)如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，若B35，ACE60，则A( ) A35 B95 C85 D75,C,(2)(2016大庆)如图，在AB
6、C中，A40，D点是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC_,110,全等三角形的判定,【例3】 (1)(2016永州)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知ABAC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD( ) ABC BADAE CBDCE DBECD,D,(2)(2016泉州)如图，ABC，CDE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点E在AB上求证：CDACEB.,【点评】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是
7、两边的夹角,对应训练 3(1)(2016济宁)如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_，使AEHCEB.,AHCB等(只要符合要求即可),(2)(2016丹东)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA3，OB4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_,全等三角形的判定和性质的综合运用,【例4】 (2016常德)已知四边形ABCD中，ABAD，ABAD，连结AC，过点A作AEAC，且使AEAC，连结BE，过A作AHCD于H，交BE于F. (1)如图，当
8、E在CD的延长线上时，求证：ABCADE；BFEF； (2)如图，当E不在CD的延长线上时，BFEF还成立吗？请证明你的结论,【点评】 本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等的一般思路是：证明相等线段所在的三角形全等；利用相等线段的比值为1证相等,对应训练 4(2016长春)感知：如图，AD平分BAC，BC180，B90，易知：DBDC. 探究：如图，AD平分BAC，ABDACD180，ABD90，求证：DBDC. 应用：如图，四边形ABDC中，B45，C135，DBDCa，则ABAC_(用含a的代数式表示),18.留心“边边角”,试题 如图，已知D是ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EBEC，12.求证：BAECAE.,错解 证明：在AEB和AEC中，AEAE，EBEC，12，AEBAEC(SSA)，BAECAE.,剖析 先看一个事实，如图，将等腰ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的DAB和DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟,正解 证明：EBEC，34.又12，1324，即ABCACB，ABAC.在AEB和AEC中，EBEC，12，ABAC，AEBAEC(SAS)，BAECAE.,
