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1、专题四 方案设计与动手操作型问题,浙江专用,方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几种类型： (1)讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； (2)画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；,(3)设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需要动手操作、合理猜
2、想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化,三个解题策略 (1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数 (2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性 (3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类
3、等对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程,1(2015河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( ) A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以 C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以 2(2016绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( ) A， B， C， D，,D,A,3一位园艺
4、设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案某同学为此提供了如图所示的五种设计方案其中可以满足园艺设计师要求的有( ) A2种 B3种 C4种 D5种,C,4小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：按工算，每个工60元(1个工人干1天是一个工)；按涂料费用算，涂料费用的60%作为工钱；按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；按每人每小时付工钱8元计算 你认为付钱最划算的方案是(
5、 ) A B C D,B,利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计,【例1】 (2016牡丹江)某绿色食品有限公司购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A种蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题： (1)求A，B两种蔬菜每吨的进价； (2)该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W(万元)与购买A种蔬菜的资金a(万元)之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将(2)中的
6、最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案,【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是抓住题中的等量关系列出分式方程，以及所获利润W(万元)与购买A种蔬菜的资金a(万元)之间的函数关系式，解题时注意：在一次函数ykxb中，k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小,对应训练 1(2016营口)某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元 (1)求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？ (2)该花店销售甲
7、种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？,图形类方案设计,【例2】 在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们： (1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分； (2)设计的整
8、个图案是某种对称图形 王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告,【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键,对应训练 2(2015义乌)某校规划在一块长AD为18 m，宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮 (1)如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AMAN89，问通道的宽是多少？,(2)为了建造花坛，要修改(1)中的方案，如图，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽
9、度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8 m，这样能在这些草坪上建造花坛如图，在草坪RPCQ中，已知REPQ于点E，CFPQ于点F，求花坛RECF的面积,图形的分割与拼接,【例3】 在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值,【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键,对应训练 3(2015泉州)如
10、图是某个多面体的表面展开图 请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点； 如果沿BC，GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么BMC应满足什么条件？(不必说理) 解：根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，点A，M，D三个字母表示多面体的同一点 BMC应满足的条件是：a.BMC90，且BMDH，或CMDH bMBC90，且BMDH，或BCDH cBCM90，且BCDH，或CMDH,图形的平移、旋转与翻折,【例4】 (2016山西)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(B
11、AD90)沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD. 操作发现： (1)将图1中的ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使BAC，得到如图2所示的ACD，分别延长BC和DC交于点E，则四边形ACEC的形状是_； (2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使2BAC，得到如图3所示的ACD，连结DB，CC，得到四边形BCCD，发现它是矩形，请你证明这个结论；,菱形,实践探究： (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC13 cm，AC10 cm，然后提出一个问题：将ACD沿着射线DB方向平移a cm，得到ACD，连结BD，CC，使四边形BCCD恰好为正方形，
12、求a的值，请你解答此问题： (4)请你参照以上操作，将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移，得到ACD，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明,【点评】 此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC的长是解题关键,对应训练 4(2016舟山)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” (1)概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； (2)问题探究： 如图1，在等邻角四边形ABCD中，DABABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB
13、边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；,(3)应用拓展： 如图2，在RtABC与RtABD中，CD90，BCBD3，AB5，将RtABD绕着点A顺时针旋转角(0BAC)得到RtABD(如图3)，当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积 解：(1)矩形或正方形； (2)ACBD，理由为：连结PD，PC，如图1所示：PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，PAPD，PCPB，PADPDA，PBCPCB，DPB2PAD，APC2PBC，又PADPBC，APCDPB，APCDPB(SAS)，ACBD；,【例5】 (2015山西)综合与实践：制作无盖盒子 任
14、务一：如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4 cm，容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计) (1)请在图的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕,立体图形与平面图形之间的相互转化,(2)请求出这块矩形纸板的长和宽 任务二：图是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图是其底面，在五边形ABCDE中，BC12 cm，ABDC6 cm，ABCBCD120，EABEDC90. (1)试判断图中AE与DE的数量关系，并加以证明 (2)图中的五棱柱盒子可按图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少
15、cm？请直接写出结果(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计),解：任务一：(1)如图所示：,【点评】此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，把平面图形围成立体图形然后找到等量关系，准确地列出函数关系式是解决问题的关键,对应训练 5(2015资阳)如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( ),A,试题 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为_ 错解：1. 剖析 学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA取最大或最小值时，点P或Q的位置经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA取最大值3
