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1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分： (1)直线l上的点(x，y)的坐标满足 ； (2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0； (3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0. 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.,1.二元一次不等式表示的平面区域,知识梳理,axbyc0,2.线性规划相关概念,一次,最大值,最小值,
2、一次,约束条件,可行解,最大值,最小值,画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.,3.重要结论,1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方； (2)当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方. 2.最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.,判断下列结
3、论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( ) (2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.( ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( ),(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.( ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( ) (7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线a
4、xbyz0在y轴上的截距.( ),1.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是 A.(0,0) B.(1,1) C.(1,3) D.(2，3),考点自测,答案,解析,把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.,答案,解析,用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.,A.0 B.3 C.4 D.5,答案,解析,不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大， 即z取得最大值，,可得2xy的最大值为2124.,几何画板展示,答案,解析,0,画出可行域为阴影部分.,z3xy，即y3xz过交点A时，z最小.,zmin3130.,
5、几何画板展示,5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上 述要求可用不等式组表示为_.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).,答案,解析,用表格列出各数据,所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.,题型分类 深度剖析,例1 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的,题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域,
6、命题点1 不含参数的平面区域问题,答案,解析,答案,解析,命题点2 含参数的平面区域问题,答案,解析,C点横坐标xC2m，,m1或m3， 又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.,答案,解析,几何画板展示,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界).,思维升华,(1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问
7、题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.,答案,解析,几何画板展示,由图可知，当m1时， 函数y2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件， 故m的最大值为1.,A.1 B.1 C.0 D.2,答案,解析,由于x1与xy40不可能垂直，所以只可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直. 当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求. 当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求.,题型二 求目标函数的最值问题,命题点1 求线性目标函数的最值,答案,解析,A.9 B.17 C.5 D.15,其中A(3,5)，B(3，3)，C(1,1)， 设tF(x，y)x4y
8、，将直线l：tx4y进行平移， F(3,5)17，F(3，3)15，F(1,1)5， 当l经过点A时，目标函数t取得最大值；,当l经过点B时，目标函数t取得最小值. 由此可得：15x4y17， 即得z|x4y|的最大值为17， 故选B.,命题点2 求非线性目标函数的最值,解答,几何画板展示,如图中阴影部分(含边界)所示.,(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.,zmax5， z的取值范围是1,5.,引申探究,解答,z的取值范围是(，0.,2.若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值.,解答,zx2y22x2y3 (x
9、1)2(y1)21，,命题点3 求参数值或取值范围,5,答案,解析,显然，当m2时，不等式组表示的平面区域是空集； 当m2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1).此时zmin1101. 显然都不符合题意.,平面区域为一个三角形区域，,由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，,答案,解析,作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).,易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，,思维升华,(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：,(3)当目标函数中含有参数时，要根据
10、临界位置确定参数所满足的条件.,答案,解析,A.2 B.1 C.1 D.2,对于选项A，当m2时，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确； 对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；,对于选项C，当m1时，可行域如图，当直线y2xz过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确； 对于选项D，当m2时，可行域如图，直线y2xz与直线OB平行，截距最小为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确.,答案,解析,题型三 线性规划的实际应用问题,例6 某玩具生产公司每
11、天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；,解答,依题意每天生产的伞兵个数为100xy， 所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.,(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,解答,目标函数为2x3y300， 作出可行域，如图所示， 作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，,A(50,50)，此时m
12、ax550元. 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.,思维升华,解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系. (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数. (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.,跟踪训练3 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型和B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和
13、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？,解答,设生产A型电视机x台，B型电视机y台， 则根据已知条件知线性约束条件为,线性目标函数为z6x4y.,根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，,作直线l0：3x2y0，当直线l0平移至点A时， z取最大值，,所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大.,含参数的线性规划问题,现场纠错系列8,错解展示,典例 (1)在直角坐标系xOy中，若不等式组 表示一个三角形区域，则实
14、数k的取值范围是_. (2)已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a_.,现场纠错,纠错心得,解析 (1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)， 作出直线y2x，当k2时，不等式组表示一个三角形区域. (2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4， a14，a3. 答案 (1)(，1)(0,2)(2，) (2)3,返回,解析 (1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域.,(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.,zaxy等价于yaxz， 因为z的最大值为4，,即直线yaxz在y轴上的截距最大为4. 若zaxy在A(1,1)处取得最大值， 则直线yaxz在y轴的上截距必小于2， 故只有直线yaxz过点(2,0)且a0时符合题意， 4a20，即a2. 答案 (1)(，1) (2)2,返回,(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答. (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.,返回,课时作业,1.若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是 A.m1 B.m1
