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1、第三节第三节 平行关系平行关系 考纲传真 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平 行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关 系的简单命题 1直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行 (2)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平 面的交线与该直线平行 (3)符号与图形语言 2.平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 (2)性质定理：如果两个平行平面同时与第
2、三个平面相交，那么它们的交线平行 (3)符号与图形语言 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行( ) (2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条( ) (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行( ) (4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)下列命题中，正确的是( ) A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C若直线a，
3、b和平面满足a，b，那么ab D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b D D 根据线面平行的判定与性质定理知，选 D. 3(2015北京高考)设，是两个不同的平面，m是直线且m， “m ”是 “ ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 B B 当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/； 当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知， “m ”是 “ ”的必要而不充分条件 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是 _ 平行 如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中
4、位线， EFBD1， 又EF平面ACE， BD1 平面ACE， BD1平面ACE. 5(2017河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平 面，给出下列四个命题： 若m，n，则mn； 若，m，则m； 若n，mn，m，则m； 若，则. 其中是真命题的是_(填上序号) ，mn或m，n异面，故错误；易知正确；，m或m，故错 误；，或与相交，故错误 与线、面平行相关命题真假的判 断 (2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下 列命题正确的是( ) A若，垂直于同一平面，则与平行 B若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D若m
5、，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D D A 项，可能相交，故错误； B 项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C 项，若m，n，mn，则m，故错误； D 项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故 D 项正确 规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定 义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断 的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论 或用反证法
6、推断命题是否正确 变式训练 1 (2017唐山模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面， 则下列结论中正确的是( ) A若m，mn，则n B若m，n，m，n，则 C若，m，n，则mn D若，m，nm，n，则n D D 在 A 中，若m，mn，则n或n，故 A 错误在 B 中，若 m，n，m，n，则与相交或平行，故 B 错误在 C 中，若 ，m，n，则m与n相交、平行或异面，故 C 错误在 D 中，若 ，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故 D 正确 直线与平面平行的判定与性质 (2016南通模拟)如图 731 所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别 为AC，A1C1上的
7、点 (1)当等于何值时，BC1平面AB1D1? A1D1 D1C1 (2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值 AD DC 图 731 解 (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1. 2 分 A1D1 D1C1 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， 点O为A1B的中点 在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点， OD1BC1. 4 分 又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1， BC1平面AB1D1. 当1 时，BC1平面AB1D1. 6 分 A1D1 D1C1 (2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC
8、1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面 AB1D1D1O得 BC1D1O，8 分 ， A1D1 D1C1 A1O OB 又由题(1)可知，1， A1D1 D1C1 DC AD A1O OB 1，即1. 12 分 DC AD AD DC 规律方法 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a，aa) 2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 变式训练 2
9、 (2014全国卷)如图 732，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PA平面ABCD，E为PD的中点 图 732 (1)证明：PB平面AEC； (2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离 3 3 4 解 (1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为BD的中点， 又E为PD的中点， 所以EOPB. 3 分 因为EO平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC. 5 分 (2)由VPAABADAB， 1 6 3 6 又V，可得AB . 3 4 3 2 作AHPB交PB于点H. 7 分 由题设知BC平面PAB，所以BCAH
10、， 故AH平面PBC. 在 RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH. 13 2 PAAB PB 3 13 13 所以A到平面PBC的距离为. 12 分 3 13 13 平面与平面平行的判定与性质 如图 733 所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 图 733 证明 (1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1. 2 分 又B1C1BC， GHBC， B，C，H，G四点共面. 5 分 (2)在ABC中，E，F分别为AB，
11、AC的中点， EFBC. EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG. 7 分 A1G綊EB， 四边形A1EBG是平行四边形，则A1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. 10 分 A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG. 12 分 迁移探究 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA. 证明 如图所示，连接HD，A1B， D为BC1的中点，H为A1C1的中点， HDA1B. 5 分 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， HD平面A1B1BA. 12 分 规律方法 1.判定面面平行的主要方法： (1)面面平行的判定
12、定理 (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行) 2面面平行的性质定理的作用： (1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平 行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行 变式训练 3 (2016山东高考) 在如图 734 所示的几何体中，D是AC的中点， EFDB. 图 734 (1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB； (2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC. 证明 (1)因为EFDB， 所以E
13、F与DB确定平面BDEF. 2 分 如图，连接DE. 因为AEEC，D为AC的中点， 所以DEAC.同理可得BDAC. 又BDDED，所以AC平面BDEF. 4 分 因为FB平面BDEF，所以ACFB. 5 分 (2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI. 在CEF中，因为G是CE的中点， 所以GIEF. 8 分 又EFDB，所以GIDB. 在CFB中，因为H是FB的中点， 所以HIBC.又HIGII， 所以平面GHI平面ABC. 因为GH平面GHI，所以GH平面ABC. 12 分 思想与方法 1线线、线面、面面平行的相互转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化 2直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质 3平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a. 易错与防范 1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误 2(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件 (2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质 上也可以相交 3在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维” ，但也要注意，转化的方向总是 由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” ，另外要注意符号语言的规范应用
