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1、第二节第二节 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 考纲传真 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公 理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 1空间图形的公理 (1)公理 1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面) (2)公理 2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线 在平面内) (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线 (4)公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 2空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的
2、位置关系 Error! (2)异面直线所成的角 定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)， 这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角 范围：. (0， 2 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况 (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 4定理(等角定理) 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线( ) (2)两两相
3、交的三条直线最多可以确定三个平面( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( ) (4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编) 如图 721 所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的 中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 图 721 C C 连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF， 故D1B1C为所求的角， 又B1D1B1CD1C，D1B1C60. 3在下列命题中，不是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同
4、一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A A A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D 是公理 4(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和 直线b相交”是“平面和平面相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A A 由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共 点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或 异面因此“直
5、线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件 5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_ b与相交或b或b 空间图形的公理及其应 用 如图 722，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点 图 722 证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点， EFBA1. 2 分 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面. 5 分 (2)EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P直线CE，CE平面ABCD， 得P平
6、面ABCD. 8 分 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点. 12 分 规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面 (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最 后证明平面，重合 2证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证 明这些点都在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直
7、线上 变式训练 1 如图 723 所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊 1 2 FA，G，H分别为FA，FD的中点 1 2 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【导学号：66482329】 图 723 解 (1)证明：由已知FGGA，FHHD，得GH綊AD. 2 分 1 2 又BC綊AD， 1 2 GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形. 5 分 (2)C，D，F，E四点共面，理由如下： 由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF， 1 2 四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 8 分 由(1)知BGCH，EFCH， EF
8、与CH共面 又DFH，C，D，F，E四点共面. 12 分 空间直线的位置关系 (1)(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面 内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是( ) Al与l1，l2都不相交 Bl与l1，l2都相交 Cl至多与l1，l2中的一条相交 Dl至少与l1，l2中的一条相交 (2)(2017郑州模拟)在图 724 中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的 中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 图 724 (1 1)D D (2 2) (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2
9、中至 少有一条与l相交 (2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但 H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面 规律方法 1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经 过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直 线 2点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正 方体为主线直观感知
10、并认识空间点、线、面的位置关系 变式训练 2 (2017烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命 题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM； 若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为( ) A B C D A A 对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题中， bM，ab，则aM或aM，为假命题命题中，a与b相交、平行或异面，为假 命题由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题 异面直线所成的角 (1)如图 725，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12AB2，则异面直线A1B
11、与AD1所成角的余弦值为( ) A. B 1 5 2 5 C. D 3 5 4 5 图 725 (2)(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1， 平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为( ) A. B 3 2 2 2 C D 3 3 1 3 (1 1)D D (2 2)A A (1)连接BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角 连接A1C1，由AB1，AA12， 则A1C1，A1BBC1， 25 在A1BC1中，由余弦定理得 cosA1BC1 . 552 2 5 5 4 5 (2)设平面CB1D1平面
12、ABCDm1. 平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1， B1D1m1，B1D1m. 平面ABB1A1平面DCC1D1， 且平面CB1D1平面DCC1D1CD1， 同理可证CD1n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即CD1B1为m，n所成的 角 在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为 60，其正弦值为. 3 2 规律方法 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型： 利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)
13、作平行线平移；补形平移 2求异面直线所成角的三个步骤： (1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角 (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角 (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角， 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 变式训练 3 如图 726，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧 AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 _ 图 726 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 2 2 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC， 所以直线AC1与AD所成角等于
14、异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点， 所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1DAD， 2 所以直线AC1与AD所成角的正切值为， 2 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 2 思想与方法 1主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线 或点也在这个平面内(即“纳入法”) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的 公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上 2判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面 直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为 相交直线的夹角，体现了转化与化归思想 易错与防范 1异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线 就是异面直线 2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内” 3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能 等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角
