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1、4.6 正弦定理、余弦定理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,知识梳理,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下,3.三角形常用面积公式,1.三角形内角和定理 在ABC中，ABC； 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C； (2)cos(AB)cos C；,3.三角形中的射影定理 在
2、ABC中，abcos Cccos B； bacos Cccos A； cbcos Aacos B.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( ) (3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ) (6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),考点自测,1.(教材改编)在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积SABC .,答案,解析,2.(教材改编)在ABC中，A60，B75，a10，则
3、c .,答案,解析,由ABC180，知C45，,3.(教材改编)在ABC中，A60，AC2，BC ，则AB .,答案,解析,1,方法一 在ABC中，根据余弦定理， 即BC2AB2AC22ABACcos 60， 得( )2AB2222AB2cos 60， 整理得AB22AB10，解得AB1. 方法二 在ABC中，根据正弦定理，,因为B(0，180)，所以B90，,4.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A120，a2， b ，则B .,答案,解析,5.(教材改编)在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，则AC边上的中线长为 .,答案,解析,7,设AC边上的中线长为x，由余弦定理知
4、,x7，故所求中线长为7.,题型分类 深度剖析,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,7,答案,解析,证明,则aksin A，bksin B，cksin C，,变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C. 所以sin Asin Bsin C.,解答,由知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，,应用正弦、余弦定理的解题技巧,思维升华,(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于
5、边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,答案,解析,(边化角),(2)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c2b，且sin(AC)2cos Asin C，则b .,答案,解析,2,(角化边) 由题意，得sin Acos Ccos Asin C2cos Asin C， 即sin Acos C3cos Asin C，,整理得2(a2c2)b2， 又a2c2b， 联立得b2.,题型二 和三角形面积有关的问题 例2 (2016南通模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(abc)(abc)ab. (1)求角C的大小；,解答,在ABC中，由(abc)(abc)ab，,(
6、2)若c2acos B，b2，求ABC的面积.,解答,方法一 因为c2acos B， 由正弦定理，得sin C2sin Acos B. 因为ABC，所以sin Csin(AB)， 所以sin(AB)2sin Acos B， 即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，,所以AB0，即AB，所以ab2. 所以ABC的面积为,方法二 由c2acos B及余弦定理，,化简得ab，,思维升华,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,跟踪训练2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)2 6，C ，则ABC的面积是 .,答案
7、,解析,c2(ab)26， c2a2b22ab6. ,由得ab60，即ab6.,题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状 例3 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC的形状为 三角形.,钝角,答案,解析,所以sin Csin Bcos A，,即sin(AB)sin Bcos A，,所以sin Acos B0，,因为在三角形中sin A0，所以cos B0， 即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.,(2)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则ABC的形状为 三角形.,钝角,答案,
8、解析,由3sin A5sin B及正弦定理得3a5b，,从而ABC为钝角三角形.,引申探究 1.例3(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状.,解答,2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Bsin A， sin(AB)0， 又A，B为ABC的内角. AB，ABC为等腰三角形.,2.例3(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.,解答,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB， 故ABC为等边三角形.,命题点2 求解几何计算问题,解
9、答,(1)求CD的长；,因为tanADC2，且ADC(0，)，,在ADC中，由正弦定理得,(2)求BCD的面积.,解答,BD2BC2CD22BCCDcosBCD， 得BC22BC350，解得BC7，,在BDC中，由余弦定理得,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,思维升华,答案,解析,(2)(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，
10、ABC75，BC2，则AB的取值范围是 .,答案,解析,如图所示，延长BA与CD相交于点E， 过点C作CFAD交AB于点F， 则BFABBE. 在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2， 在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，,二审结论会转换,审题路线图系列,规范解答,审题路线图,返回,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,15,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.(2016盐城模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A
11、，且sin2Bsin2C，则ABC的形状为 三角形.,答案,解析,等腰直角,由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即sin Asin2A，在三角形中sin A0，sin A1，A90， 由sin2Bsin2C，知bc， 综上可知，ABC为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是有 解.(填0，1，2),答案,解析,0,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
12、0,11,12,13,14,15,直角,答案,解析,故ABC是直角三角形.,即a2b2c2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC，ED， 则sinCED .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,由题意得EB
13、EAAB2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又bc2，b22bcc24，b2c252， 由余弦定理得a2b2c22bccos A,a8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,*10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B bcos A.若a4，则ABC周长的最大值为 .,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由余弦定理得a216b2c22bccos
14、A,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， ABC周长abc4bc12，即最大值为12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.(2016苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是 .,答案,解析,(2，),由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60. 设最小角为，则最大角为120，其中030.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC且7a2 b2c2 ，则ABC的面积的最大值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2. (1)求C和BD；,解答,由题设A与C互补及余弦定理得 BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos
