《奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式 1、 1001abcabcabc= 2、 10101abababab= 3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 ba 1 形式的，这里我们把较小的 数写在前面，即 ab，那么有: ) 11 ( 11 baabba = = 4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： + + = + + + = +)2() 1( 1 ) 1( 1 2 1 )2() 1( 1 nnnnnnn + + = + + + = +)3()2() 1( 1 )2() 1( 1 3 1 )3()2() 1( 1 nnnnnnnnnn 5 5、 abba
2、b ba a ba ba11 += + = + += + = + 6 6、 a b b a ba b ba a ba ba += + = + += + = + 2222 7、) 1() 1( 3 1 ) 1(433221+=+=+nnnnn 8、 ) 1() 1)(2( 4 1 ) 1()2( 543432321+=+=+nnnnnnn 9、 ) 1() 1( 3 1 )2)(1( 3 1 ) 1(+=+=+nnnnnnnn 10、 )2)(1() 1( 4 1 )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(+=+=+nnnnnnnnnnn 11、 !)!1(!nnnn+=+= 2 1 12 2.
3、.求和：求和： 1) 1( 1 54 1 43 1 32 1 21 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证： 11 1 1) 1 11 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( + = + = + += + = + = + += n n nnn Sn 1313. .求和：求和： 12) 12)(12( 1 97 1 75 1 53 1 31 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证： 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 (
4、2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + = + = + += n n nnn Sn 1414. .求和：求和： 13) 13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 + = + + + + = + = + + + + = n n nn Sn 证：) 13 1 23 1 ( 3 1 ) 10 1 7 1 ( 3 1 ) 7 1 4 1 ( 3 1 ) 4 1 1 ( 3 1 + += nn Sn 13 ) 13 1 1 ( 3 1 + = + = n n n 1515. .求和：求和：) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1
5、 )2( 1 64 1 53 1 42 1 31 1 + + += + + + + + = + + += + + + + + = nnnn Sn 证：) 1 1 1 1 ( 2 1 ) 6 1 4 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + += nn Sn ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) 2 11 ( 2 1 + + += + + nnnn 16.求和： + = + + + + = + = + + + + = )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nnnnn
6、Sn 3 证：因为 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 + + = +nnnnnnn ， )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 ) 43 1 32 1 ( 2 1 ) 32 1 21 1 ( 2 1 + = + + + + = nn nnnn Sn 17、 2 ) 1( 321 + =+ + =+ nn n 1818、 2 12311321nnnn=+）（）（ 1919、 2 127531nn=+=+）（ 2020、 6 ) 12)(1( 21 222 + =+ + =+ nnn n 2121、 3 ) 14( 3 ) 12)(12(
7、12531 2 2222 = + =+ = + =+ nnnnn n）（ 2222、() () 4 1 2121 2 2 2 333 + =+=+ nn nn 2323、 )( 22 bababa+= 2424、 222 2)(bababa+= 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995 + + + + + + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解分析与解答：答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871
8、988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 = = = = 4 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 = = 上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这 一来问题解起来就十分方便了。 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19951996 1 19961997 1 1997 + + + + + =+ += 1 1985 1 1986 1 1986 1 1987 1 1987 1 1988 1 1995 1 1996 1
9、1996 1 1997 1 1997 1 1985 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算： 1 1 1 12 1 123 1 123100 + + + + + + 公式的变式 1 12 2 1+ = nnn() 当n分别取 1，2，3，100 时，就有 1 1 2 12 1 12 2 23 1 123 2 34 1 1234 2 45 1 12100 2 100101 = + = + = + = + = 5 1 1 1 12 1 123 1 12100 2 12 2 23 2 34
10、2 99100 2 100101 2 1 12 1 23 1 34 1 99100 1 100101 21 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 21 1 101 + + + + + + = + + + + = + + + + =+ = () () () = = = 2 100 101 200 101 1 99 101 例 3. 设符号（ ）、代表不同的自然数，问算式 1 6 11 =+ () 就变成 1 6 11 = 0，则xnt=+，代 入上式得 t n nty()+ = 1 ，即y n t n=+ 2 。 又因为y是自然数，所以t一定能整除
11、n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y， 这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比 11 1 1 1nnn n + = +() 更 广 泛 的 等 式 ， 即 当xnt=+， y n t n=+ 2 ，t是n2的约数时，一定有 111 nxy =+，即 11 nnt t n nt + = +() 6 上面指出当xnt=+，y n t n=+ 2 ，t是n2的约数时，一定有 111 nxy =+，这里 nn=636 2 ,，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当t = 1时，x = 7，y = 42 当t = 2时，x = 8，y = 24 当t = 3时，x
12、 = 9，y = 18 当t = 4时，x = 10，y = 15 当t = 6时，x = 12，y = 10 当t = 9时，x = 15，y = 10 当t = 12时，x = 18，y = 9 当t = 18时，x = 24，y = 8 当t = 36时，x = 42，y = 7 故（ ）和所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：20 分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55
13、 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 3. 已知xy、是互不相等的自然数，当 1 18 11 =+ xy 时，求xy+。 【试题答案】【试题答案】 1. 计算： 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + =+ = = 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 98 1 99 1 99 1 100 1 1 100 99 100 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 7 =+ = + + + + + + + + + + + + + = = = 2 6 2 12 2 20 2 30 2 42 2 56 2 72 2 90 2 110 2 132 2 156 2 182 2 210 2 240 2 1 23 1 34 1 45 1 56 1 67 1 78 1 89 1 910 1 1011 1 11 12 1 1213 1 1314 1 1415 1 1516 2 1 2 1 1
