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1、第6讲 对数与对数函数,知 识 梳 理,1.对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1) (2)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么,xlogaN,N,loga(MN)_； loga _； logaMn_(nR)； loga mMn logaM(m，nR，且m0). (3)对数的重要公式 换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)； logab ，推广logablogbclogcd_.,logaMlogaN,
2、logaMlogaN,nlogaMa,logad,3.对数函数及其性质 (1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,ylogax,yx,诊 断 自 测,解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)
3、错. 答案 (1) (2) (3) (4),2.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ),A.a1，c1 B.a1，01 D.00，即logac0，所以0c1. 答案 D,答案 D,4.(2015浙江卷)若alog43，则2a2a_.,答案 (1)A (2)20,规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)abNblogaN(a0
4、，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.,答案 (1)A (2)1,考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2017郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是( ),解析 (1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称. 因此yloga|x|的图象应大致为选项B.,(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距. 由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点.,答案 (1)B (2)a
5、1,规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.,【训练2】 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是( ),解析 (1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B； 又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.,答案 (1)C (2)B,考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小 【例31】 (2016全国卷)若ab0，0cb,答案 B,答案 C,命题角度三 对数型函数
6、的性质 【例33】 已知函数f(x)loga(3ax). (1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.,解 (1)a0且a1，设t(x)3ax， 则t(x)3ax为减函数， x0，2时，t(x)的最小值为32a， 当x0，2时，f(x)恒有意义，,规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，
7、要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,【训练3】 (1)设alog32，blog52，clog23，则( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.,思想方法 1.对数值取正、负值的规律 当a1且b1或00； 当a1且01时，logab0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.,3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.,易错防范 1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论. 2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.,
