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1、14.1 几何证明选讲,第2课时 圆的进一步认识,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.圆周角与圆心角定理 (1)圆心角定理：圆心角的度数等于 . (2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 . 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角 .同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于 .反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).,知识梳理,其所对弧的度数,一半,相等,90,2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的 . (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 .
2、 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 .,切线,半径,切点,圆心,相等,度数的一半,5.与圆有关的比例线段,PCPD,BDP,PCPD,PDB,PBPC,PCA,PB,OPB,6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角 . (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.,互补,考点自测,1.(2016南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点.求证：APBCACCP.,证明,因为P
3、C为圆O的切线，所以PCAPBC， 又CPABPC，故CAPBCP，,2.(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的长.,首先由切割线定理得PA2PCPD，,CDPDPC9，又CEED21， 因此CE6，ED3，,解答,3.(2017扬州质检)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的长.,AA，AEFACB，,解答,4.如图，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，求DE的长.,
4、解答,在RtACB中，ACB90，A60， ABC30.AB20，,CD为切线，BCDA60.,由切割线定理得DC2DEDB，,DE5.,题型分类 深度剖析,题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题,例1 (2016全国乙卷)如图，OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心， OA为半径作圆. (1)证明：直线AB与O相切；,证明,(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.,证明,因为OA2OD， 所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心. 设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO. 由已知得O在线段AB的垂直平分线上， 又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.
5、 同理可证，OOCD，所以ABCD.,(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.,思维升华,跟踪训练1 (1)(2016无锡模拟)如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A，B两点，C是O上的一点，若P70，求ACB的大小.,解答,如图所示，连结OA，OB，则OAPA，OBPB.,(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点， 且满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的 延长线交于点P，求P
6、A的长.,解答,题型二 四点共圆问题,例2 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点.,证明,(1)证明：A，P，O，M四点共圆；,如图，连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，,所以OPAP， 因为M是O的弦BC的中点， 所以OMBC， 于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆.,(2)求OAMAPM的大小.,由(1)得，A，P，O，M四点共圆， 所以OAMOPM， 由(1)得OPAP，因为圆心O在PAC的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAP
7、M90.,解答,(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆. (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,思维升华,证明,跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.,(1)证明：DE；,由题设知，A，B，C，D四点共圆， 所以DCBE，由已知得CBEE， 故DE.,证明,(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形.,如图，设BC的中点为N，连结MN，,则由MBMC知MNBC， 故点O在直线MN上. 又A
8、D不是O的直径，M为AD的中点， 故OMAD，即MNAD. 所以ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE， 由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形.,题型三 与圆有关的比例线段,例3 (2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO 交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.,(1)证明：CBDDBA；,因为DE为O的直径， 则BEDEDB90， 又BCDE，所以CBDEDB90， 从而CBDBED， 又AB切O于点B，得DBABED， 所以CBDDBA.,证明,(2)若AD3DC，BC ，求O的直径.,解答,由(1)知BD平分CBA，,故DEAEAD3，即O的直径为3.,(1)应用相交弦定理、
9、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.,思维升华,跟踪训练3 (1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF ，AFFBBE421，若CE与圆相切，求线段CE的长.,解答,(2)(2014湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点.若QC1，CD3，求PB的长.,解答,由切割线定理得QA2QCQD
10、4，解得QA2. 由切线长定理得PBPA2QA4.,课时作业,1.(2015江苏)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.,证明,求证：ABDAEB.,因为ABAC， 所以ABDC. 又因为CE，所以ABDE， 又BAE为公共角，可知ABDAEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(2017苏北四校联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点.证明：OCBD.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,因为B，C是圆O上的两点， 所以OBOC. 故OCBB. 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 故B，D为同弧所对的两个圆周角
11、， 所以BD. 因此OCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2015湖南)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：MENNOM180.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点， 所以OMAB，ONCD， 即OME90，ENO90， 因此OMEENO180， 又四边形的内角和等于360， 故MENNOM180.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，ADCE于点D，若圆O的面积为4，ABC30，求AD的长.,解
12、答,由题意可知圆O的半径为2，在RtABC中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5. (2016苏锡常镇四市联考)如图，已知CB是O的一条弦，A是O上异于B，C的任意一点，过点A作O的切线交直线CB于点P，D为O上一点，且ABDABP.求证：AB2BPBD.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,AP与O相切于点A，AB为O的弦， ADBPAB， 又在DBA和ABP中，DBAABP，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2016南京、盐城联考)如图，过O外一点P作O的切线PA，切点为A，连结OP与O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA12 cm，PC6
13、cm，求CD的长.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设O的半径为r， 由切割线定理得AP2PC(PC2r)， 即1226(62r)，解得r9. 连结OA，则有OAAP. 又CDAP，所以OACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.(2016苏州模拟)如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，点N在O上，ANAC.证明：MDN2ACO.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图，连结ON，因为ANAC，,ONOC，OA是公共边， 所以ANOACO，故OACOAN. 又OACACO， 所以NACOACOANACOOAC2ACO.
14、 因为A，C，D，N四点共圆，所以MDNNAC， 所以MDN2ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016徐州模拟)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，求圆O的半径R.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由切割线定理可得PA2PBPC，,所以BCPCPB3， 因为AC是圆O的直径，所以ABC90， 所以AB2BCBP3， 所以AC2BC2AB29312，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，求线段CF的长.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设EBx，则EDx5， 由切割线定理知x(x5)62，x4. ABAC，ABCACB， 又ACBADB，EABADB， EABABC，AEBC，又ACED， 四边形EBCA为平行四边形. ACEB4，BCAE6，由AFCDFB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.(2016全国丙卷)如图，O中的中 点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.,解答,(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；,1,2,3,4,5,6,7,8,
