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1、8.6 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量， n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,知识梳理,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) . (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为
2、u，则l或l . (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,vu,u1u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行，
3、则两直线不平行.( ) (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.( ) (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ),考点自测,1.(2017宿迁质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是_. (1,1,1) (1，1,1),答案,解析,设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，,xyz.正确.,2.已知直线l的方向向量为v(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_.,答案,解析,l或l,vu0， vu， l或l.,3.平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.,答案
4、,解析,4,，两平面法向量平行，,4.(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,答案,解析,当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0. 当v(4，4，10)时，v2u.,5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,答案,解析,垂直,以A为原点，分别以 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，,设正方体棱长为1， 则A(0,0,0)，M(0,1， )，O(
5、，0)，N( ，0,1)，,ON与AM垂直.,题型分类 深度剖析,题型一 利用空间向量证明平行问题 例1 (2016扬州模拟)如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.,证明,平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)., (
6、2,0，2)， (0，1,0)， (1,1，1)，,即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，,PB平面EFG，PB平面EFG.,引申探究 本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.,证明, (0,1,0)， (0,2,0)， ，BCEF. 又EF平面PBC，BC平面PBC， EF平面PBC， 同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC. 又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG， 平面EFG平面PBC.,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线
7、的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,思维升华,跟踪训练1 (2016北京海淀区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN平面A1BD.,证明,如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 则M(0,1， )，N( ，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，,设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，,取x1，得y1，z1. 所以n(1，
8、1，1).,又MN平面A1BD，所以MN平面A1BD.,题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直 例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,证明,如图所示，取BC的中点O，连结AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2， )，A(0,0， )
9、，B1(1,2,0).,设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)， (1,2， )， (2,1,0).,令x1，则y2，z ，,故n(1,2， )为平面A1BD的一个法向量，,故AB1平面A1BD.,命题点2 证面面垂直 例3 (2016盐城模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD ，设E，F分别为PC，BD的中点. (1)求证：EF平面PAD；,证明,如图，取AD的中点O，连结OP，OF. 因为PAPD，所以POAD. 因为侧面PAD底面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以PO平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点
10、，所以OFAB. 又ABCD是正方形，所以OFAD.,因为PAPD ，所以PAPD，OPOA .,以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，,则A( ，0,0)，F(0， ，0)，D( ，0,0)，P(0,0， )，B( ，a,0)，C( ，a,0).,因为E为PC的中点，所以E,易知平面PAD的一个法向量为 (0， ，0)，,因为 ( ，0， )，,所以EF平面PAD.,(2)求证：平面PAB平面PDC.,证明,因为 ( ，0， )， (0，a,0)，,所以 ( ，0， )(0，a,0)0，,所以 ，所以PACD.,又PAPD，PDCDD， 所以PA平面P
11、DC. 又PA平面PAB， 所以平面PAB平面PDC.,证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.,思维升华,跟踪训练2 (2016淮安模拟)如图，在多面体ABCA1B1C
12、1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BC ，B1C1綊 ，二面角A1ABC是直二面角.求证： (1)A1B1平面AA1C；,证明,二面角A1ABC是直二面角， 四边形A1ABB1为正方形， AA1平面BAC. 又ABAC，BC ， CAB90，即CAAB， AB，AC，AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系， 点A为坐标原点， 设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2).,设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，,即 取y1，则n(0,1,0)., 2n，即 n.,2n，即 n.,A1B1平面AA1C.,(
13、2)AB1平面A1C1C.,证明,易知 (0,2,2)， (1,1,0)， (2,0，2)，,设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，,令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)., m012(1)210，, m.,又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.,题型三 利用空间向量解决探索性问题 例4 (2016北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD . (1)求证：PD平面PAB；,证明,平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD， AB平面PAD. 又PAPD
14、，PAABA，且PA，PB平面PAB， PD平面PAB.,PD平面PAD，ABPD.,(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；,解答,取AD中点O，连结CO，PO，PAPD， POAD. 又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD， PO平面ABCD，CO平面ABCD， POCO，ACCD，COAD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系. 易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，1,0)，C(2,0,0).,则 (1,1，1)， (0，1，1)， (2,0，1).,(2，1,0).,设n(x0，y0,1)为平面PCD的一个法向量.,设PB与平面PCD的夹角为.,(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.,解答,设M是棱PA上一点，则存在0,1使得 ，,因此点M(0,1，)， (1，)，,BM平面PCD，BM平面PCD，, n
