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1、第3讲 函数的奇偶性与周期性,最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.,知 识 梳 理,1.函数的奇偶性,图像关于原点对称的函数叫作奇函数. 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.,2.奇(偶)函数的性质,(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_ (填“相同”、“相反”).,相同,相反,(2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_. 两个偶函数的和函数、积函数是_. 一个奇函数，一个偶函数的积函数是_. (3)
2、若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,3.周期性,(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 _的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的_正周期.,f(x),存在一个最小,最小,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.( ) (3)若函数yf(xa)
3、是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称.( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称.( ),解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错. 答案 (1) (2) (3) (4),解析 A，B中显然为非奇非偶函数；C中ycos x为偶函数. D中函数定义域为R，又f(x)exex(exex) f(x)，yexex为奇函数.,答案 D,答案 B,答案 1,5.(2014全国卷)偶函数yf(x)的图像关于直线x2对
4、称，f(3)3，则f(1)_. 解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1). 又f(x)的图像关于直线x2对称， f(1)f(3).f(1)3. 答案 3,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,(2)(2014全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f(
5、x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,(2)依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确； |f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.,答案 (1)D (2)C,
6、答案 (1)C (2)1,规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.,答案 2,规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间. (2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(
7、x)的一个周期.,答案 2.5,答案 (1)D (2)C,规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图像的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.,答案 (1)C (2)2,思想方法 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.,易错防范 1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. 2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图像的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.,
