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1、第三章 线性系统的时域分析,31 线性系统响应指标,1典型输入信号,2时域性能指标, 典型时间响应：零初始条件时，典型输入信号作用下系统输出的过渡过程*。,(3-01),2003-09/10,后 页,*过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个时间过程。一般认为c (t) 进入（误差带）后过渡过程结束。,例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：,误差带一般取0.02或0.05, 动态性能指标：,延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；,上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终
2、值（稳态值）时所需要的时间；,2003-09/10,(3-02),前 页,后 页,峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（稳态值）时所需要的时间；,调节时间 ts ：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05） 或2%（=0.02）内所需要的最短时间。,超调量 Mp ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。,振荡次数N ：指c (t)穿越c ()水平线的次数的一半。,其中 Mp平稳性； N阻尼性。, 稳态性能指标：,稳态误差ess ：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。,32 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的数学模型,T c(t) c(
3、t) = r(t) 或 G(S) = 1 / (TS+1) - 惯性环节,2003-09/10,(3-03),前 页,后 页,2. 一阶系统的单位阶跃响应：,即：r(t)=1(t) 或 R（S）= 1/S 时的 c(t) 。,由于G(S) = 1 / (TS+1),即有C(S) = 1 / (TS+1) R（S）=1/(TS+1)S=1/S 1/（S+1/T）,故 c(t) = L-1 C（S） = L-1 1/S 1/（S+1/T） = 1e t/T (t0),即 c(t) 是单调上升的。 且 c(0)= c(t)t=0=0 , ，c()= c(t)t=1,作图如右：,2003-09/10,
4、(3-04),前 页,后 页,从图中可知: 当=0.05时，ts = 3T ； =0.02时，ts = 4T ； 由此可见 ts 是由T决定的。而 tp = 0，Mp = 0，N=0 , td , tr 均可求得。,结论： 时间常数T 决定系统的惯性： T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快； T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,3 一阶系统的： 单位脉冲响应 单位斜坡响应 单位加速度响应 教材P98-100 （分析方法同 “单位阶跃响应”）,33 二阶系统的时域分析,二阶系统的数学模型,2003-09/10,(3-05),前 页,后 页,2.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应, 二阶系统的闭
5、环极点,由二阶系统的闭环特征式：D（S）= s2+2ns +n2,得： 系统的闭环特征方程：s2+2ns +n2 = 0,对应于 的不同取值，可以得到 S1 ， S2 在S平面上不同的分布。, 二阶系统的单位阶跃响应,当r(t) = 1 时 或R(S)=1/S 时， 有：,2003-09/10,(3-06),前 页,后 页,而S1，S2是和n的函数，显然c(t)只与，n有关，即，n决定着c(t)的形式。, 1时，（过阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。, = 1时，（临界阻尼） S1 ，S2 为一对相等的负实数根。, 01时，（欠阻尼） S1 ，S2 为一对具有负实部的共轭复根。,20
6、03-09/10,(3-07),前 页,后 页, 当=0时，（无阻尼，零阻尼） S1 ，S2 为一对幅值相等的虚根。, 当0时，（负阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。,小结： ） 二阶系统正常工作的基本条件是 0 ；而0系统不稳定； ） 当 1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）； ）当01时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。,2003-09/10,(3-08),前 页,后 页,（3）欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析,设r(t)=1，即R（S）=1/S 则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：,则 S1,2 = + j d , 此时:,所以 c(t) =
7、 1 e t cos d t (/ d) e t sin d t = 1 (e t/ 1- 2 ) sin( d t +),其中 cos = 即=arc cos ( 称为阻尼角),2003-09/10,(3-09),前 页,后 页,分析：,1） e(t) = r(t) c(t) = (e t/ 1- 2 ) sin( d t +)为一振荡衰减过 程（指数衰减），振荡频率为 d 。图示如下：,2） e(t) 及c(t)的衰减速度取决于n的大小；,3） t 时， e()=0 则c()=1；,4） Mp0,N0 即存在超调和振荡；,5） = n（衰减系数）： 即S1，S2的实部。亦即闭环极点到虚轴
8、的距离；,d=n1- 2（阻尼振荡频率）：即S1，S2的虚部。亦即闭环极 点到实轴的距离；,n（自然振荡频率）： 闭环极点到原点的距离;, = cos（为阻尼角）：n 与负实轴夹角的余弦;,2003-09/10,(3-10),前 页,后 页,、d、n、及、的关系图示如下:,2003-09/10,(3-11),前 页,后 页,调节时间 ts ：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5% （=0.05）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。 具体求法参见教材P107。,在工程上，一般采用下列公式进行估算： 当 0.7时：ts = （4.751.7）/n 当00.7时： ts = 3 /(n) (
9、=0.05) 或 ts = 4 / (n) (=0.02),延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间； 在工程上，一般采用下列公式进行估算： td = （0.71）/n,2003-09/10,(3-12),前 页,后 页,超调量 Mp ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。,结论分析： a) tr 、tp 、ts 、td 与n 的关系（反比关系）； b) tp 、td与的关系（正比关系）； ts与的关系（反比关 系）；,2003-09/10,(3-13),前 页,后 页,c) Mp与的关系（反比关系）；小时，系统的平稳性差；大时，系统的平稳性好。 实际设计中
10、，一般取 = 0.40.8。其中以 = 0.7时为最佳阻尼。,3 欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析,4 其他几种阻尼情况下，各种典型信号响应的动态性能分析不要求。,5 例题分析 例题1 教材P108例题3-1；,例题2 教材P109例题3-2；,例题3 教材P132例题3-12。,2003-09/10,(3-14),前 页,后 页,6二阶系统性能的改善,1) 改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。,2) 改善的办法：（P111115） 引入零点。即在前向通路中串入一个PD控制环节； 采用测速反馈控制。,3) PD控制与测速反馈控制两种方案比较
11、 （见下页附表）,例题分析 教材P113例题3-3，P131-134例题3-9，11，13，14,2003-09/10,(3-15),前 页,后 页,附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较,2003-09/10,(3-16),前 页,后 页,34 高阶系统的时域分析,1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。,2、分析方法： 1）定性分析； 2）主导极点法； 3）计算机分析,3 主导极点与偶极子问题, 主导极点： 在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。,主导极点法： 利用主导极点代替系统全部
12、闭环极点来估算系统性能的方法，称为主导极点法。,一般要求： 5 *Re主导极点 Re 非主导极点或零点 。,2003-09/10,(3-17),前 页,后 页, 偶极子： 当一对闭环零、极点重合或它们之间的距 离比较小（它们之间的距离比其本身的模值小一个数量级以上）时便构成偶极子。,4、利用主导极点法系统性能指标 利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。,35 线性系统的稳定性,1、稳定的定义：若线性系统在初始扰动影响下，其动态过程能够逐渐衰减并趋于零，即系统能回到原来的平衡工作点，则称系统渐近稳定，简称稳定。否则为不稳定。,2、系统稳定的充要条件（
13、P120中）：系统的所有闭环特征根都具有负实部；或者系统闭环传递函数的极点均严格位于左半S平面。（0） ,2003-09/10,(3-18),前 页,后 页,系统稳定的“充要条件”的两点说明： 1） 若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点分布在左半S平面时，系统将处于临界稳定状态（=0）。 2） 若有一个或一个以上的闭环极点位于右半S平面时，则系统将处于不稳定状态（0）。,3、稳定性的判定 1） 三个稳定判据,劳斯（Routh）判据; 赫（胡）尔维茨（Hurwith）判据; 林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据,a 前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）； b 依据：根与系数
14、的关系； c 方法：列（劳斯）表计算。,2003-09/10,(3-19),前 页,后 页,2) Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的 符号来判定： 若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定； 若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；,3） 劳斯表的列写 首先，将D（S）= a0 sn + a1 sn-1 + an-1 s + an =0 的系数排 成两行： sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 ,其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页,最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。,2003-09/10,(3-20),前 页,
15、后 页,劳斯表,若a0、a1、b1、c1、xn、an都严格为正，则系统稳定； 若a0、a1、b1、c1、xn、an中出现负值，则系统不稳定；此时，元素号改变 的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。,2003-09/10,(3-21),前 页,后 页,4） 劳斯表特殊情况处理, 第一列元素出现“0”项（下面一项为）： 在原特征方程D（S）=0中乘以一个任意的（S+a）因子， （a0）， 然后对新的特征方程D（S）（S+a）=0重新列 写劳斯表。,劳斯表中出现全0行： 以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（S）=0， 并对其求导一次，再用F（S）=0的系数代替全0行各元素， 继续列劳斯表。 若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（S）=0求出 一部分，其余的正实部根可以由D（S）/ F（S）=0求得。,2003-09/10,(3-22),前 页,后 页,4 应用举例,例题1：P121例题3-4； P123例题3-5；P124例题3-6 P133-134例题3-153-16；,例题2：已知
