自动控制原理第六讲

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1、自动控制原理,第6章 频域分析法,6.1 频率特性 6.2 典型环节的频率特性 6.3 稳定性判断 6.4 稳定裕度,频域分析法的基本思想： 把控制系统中的各个变量看成为一些信号，而这些信号又是许多不同频率的正弦信号合成的； 各个变量的运动就是系统对不同频率的信号的响应的总和。 频域分析法的优点： 物理意义明确； 可以用实验方法求出对象的数学模型； 频域分析法的计算量小； 由于采用作图，有很强的直观性。,6.1 频率特性,6.1.1 频率特性的概念 对于线性定常系统，在零初始条件下， 输入信号为r(t)=A1sin(t+1)=A1ej(t+1)， 稳态后，输出信号为c(t)=A2sin(t+2

2、)=A2ej(t+2)。,设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得 c(t)=A2ej(t+2)=h(t) *r(t)=h(t)*A1ej(t+1) =A1ej(t+1) (j); 由 A2ej(t+2)=A1ej(t+1) (j)得 (j)= A2ej(t+2)/A1ej(t+1) =A2/A1 ej(2-1) =A()ej(),系统的频率特性函数(j) 含义：稳态下正弦输出信号的复数符号与正弦输入信号的复数符号之比。 系统的幅频特性：A()=A2/A1 含义：正弦输出信号的振幅与正弦输入信号的振幅之比； 系统的相频特性：()=2-1 含义：正弦输出信号对于正弦输入信号的相位领先

3、量。,设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得 c(t)=h(t) *r(t) 进行傅里叶变换得,C(j)：输出信号的傅里叶变换； R(j)：输入信号的傅里叶变换； (j)：系统的频率特性函数。 新定义：当输入信号与输出信号为非周期函数时，频率特性函数为输出信号的傅里叶变换象函数与输入信号的傅里叶变换象函数之比。,6.1.2 频率特性的几何表示 频率特性的表示： (j)= |(j)|ej()=A()ej() =U()+jV() =A()cos()+jA()sin()； 实频特性 U()=A()cos()； 虚频特性 V()=A()sin()； 幅频特性 ； 相频特性 。,频率特性G

4、(j)与传递函数G(s)的关系 对于如图所示RC网络 ，TRC。 设输入一正弦信号 ， 则输入的拉氏变换为 而输出的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换得输出的时域表达式 显然稳态输出为： 频率特性：,另一方面, 系统传递函数当取s=j 把上式化成指数函数形式得： 因此， 也就是说在传递函数中的s用 j代入，其模值和幅角可以完全表示系统的幅频特性和相频特性。 即,频率特性一个重要的优点：是可以用图象表示。从频率特性图象上很方便地得到关于系统稳定性和动态特性的一些信息。 应用广泛的有幅相频率特性图、对数频率特性图和对数幅相特性图。,1 幅相频率特性图（极坐标图，又称奈奎斯特(Nyquist)图） 特

5、点：当:0时，将其幅频特性A()和相频特性()同时表示在复平面上。 (j)=A()ej()可看作向量，幅值为A()，相位为()。 当:0时，该向量的端点将在复平面上画出一条曲线，即幅相频率特性图。,例 6.1 绘制惯性环节的幅相图 解 频率特性函数为 实频特性 虚频特性,幅频特性 相频特性 ()= arctan(V()/U()=-arctanT Nyqiust图：,2 对数频率特性图（又称伯德(Bode)图） 将角频率和幅频特性函数|G(j)|都取对数，记 L()：对数幅频特性函数。 ()：对数相频特性函数。（注意：不取对数） 对数频率特性函数：总称。,Bode图：对数幅频特性图和对数相频特性

6、图同画在一张图上，共用一个横坐标轴。但坐标轴上所标的仍是值，以便读取实际角频率值。,的单位为十倍频程(dec)。 注意：十倍频程只用于度量的某两个值之差，而不是用于度量一个值本身。 如： 如果=10，因而=1,并不说等于1个十倍频程。 若2=101（因而2=1+1），则常说2比1高1个十倍频程，或2比1高1个十倍频程。 若a=500，b=5（因而a=b+2），就说a与b相差2个十倍频程。,例6.2 绘制惯性环节近似的对数频率特性图 解 惯性环节的频率特性函数为 得 当从零到无穷取值时，计算出相应的对数值，即可绘制出Bode图。,工程上采用近似画法： 当1/T，对数幅频特性可近似为 L()-20

7、lg1=0 (dB) 即：当频率很低时，对数幅频特性可以用零分贝线近似表示。 当1/T，对数幅频可近似表示为 L()-20lgT (dB) 即：当频率很高时，对数幅频特性可用一条直线来近似，直线斜率为-20dB/dec，即每增加10倍，L()减少20dB。,Bode图为,L()-20lgT L(1)-20lg1T, 设2=101， L(2)-20lg101T=-20 -20lg1T 即每增加10倍，L()减少20dB，直线斜率为-20dB/dec。,采用Bode图的优点 可以展宽视界。在例6.1中，高频区|G(j)|的值很小，而且挤在一小段，看不清变化规律；在例6.2中，高频区、低频区都被展宽

8、，变化规律看得清楚。 曲线形状比较简单，容易画。 当两个频率特性函数相乘时，只需要把对数频率特性曲线相加。,3 对数幅相特性图(Nichols图) 以对数幅频特性L作纵坐标，以对数相频特性作横坐标，以角频率为参变量绘制的频率特性图。 Nichols图与Bode图的区别 Nichols图以对数相频特性作横坐标； Bode图以lg为横坐标。,例6.3 绘制惯性环节近似的对数幅相图。 解 对数幅频特性 对数相频特性 当:0，计算出相应的L()和()，即可绘制Nichols图。,Nichols图：,6.2 典型环节的频率特性,1 比例环节 传递函数 G(s)=K, 频率特性函数 G(j)=K, 幅频特

9、性 |G(j)|=K, 相频特性 ()=0, 对数幅频特性 L()=20lgK 对数相频特性 ()=0 比例环节的Bode图,L(),20lgK,0 dB,1,10,(),0o,1,10,2 积分环节 传递函数 G(s)=1/s，G(s)=K/s 频率特性函数 G(j)=1/j=-j1/,G(j )=-jK/ 幅频特性 |G(j)|=1/, |G(j)|=K/ 相频特性 ()=-90 对数幅频 L()=20lg1/=-20lg (dB) L()=20lgK/ (dB) 对数相频 ()=arctan(V()/U()=-90,积分环节的Bode图,L(),0dB,=1,(),0o,-90o,3 振

10、荡环节 传递函数 自然振荡频率1/T0,01。 频率特性 对数幅频 (dB) 对数相频特性 (),当1/T，忽略T， 对数幅频特性为 L()20lg1=0 (dB)； 当1/T，忽略1和2T， 对数幅频特性为 L()-20lgT22=-40lgT (dB). 当1/T，=0； 当=1/T，=-90o； 当1/T，=-180o。,振荡环节的Bode图：,4 理想微分环节 传递函数 G(s)=s； 频率特性函数 G(j)=j； 对数幅频特性 L()=20lg； 对数相频特性 ()=90o。,L(),0dB,=1,(),90o,0o,5 一阶微分环节 传递函数 G(s)= ； 频率特性函数 G(j)

11、= ； 对数幅频特性 (dB) 对数相频特性 () 当 ， L()20lg1=0(dB); ()=0; 当 ， L()=10lg2 (dB); ()=45; 当 ， 。,一阶微分环节的Bode图,6 最小相位系统 最小相位系统：传递函数的极点和零点均在左半s平面的系统。 非最小相位系统：传递函数有极点和（或）零点在右半s平面的系统。 最小相位系统 Ga(s)=(1+T2s)/(1+T1s) Ga(j)=(1+jT2)/(1+jT1) 非最小相位系统 Gb(s)=(1-T2s)/(1+T1s) Gb(j)=(1-jT2)/(1+jT1) 0T2T1,由于|1+jT2|=|1-jT2|,所以两个系

12、统的幅频特性完全相同。 相频特性 a()=arctanT2-arctanT1 b()=-arctanT2-arctanT1 当:0，系统a的相位变化量为0， 系统b的相位变化量为-180。 即，最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位变化量。,最小相位系统的重要特征：如果确定了最小相位系统的对数幅频特性，则其对应的相频特性也就被唯一地确定了。反之，亦然。 因此，对于最小相位系统，只要知道它的对数幅频特性曲线，就能估计出系统的传递函数。 判别：当时，最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性斜率均为-20(n-m)dB/dec。最小相位系统a()=-90(n-m)，非最小相位系统b() -90(n

13、-m)。,6.3 系统对数频率特性图的绘制 1 开环系统对数频率特性图绘制 设系统由G1(s)、G2(s)、G3(s)串联而成。 系统频率特性函数 G(j)=G1(j)G2(j)G3(j), A(G)ej(G)= A (G1) A (G2) A(G3)ej(G1)+(G2)+(G3) A(G)=A (G1) A (G2) A(G3); (G)= (G1)+(G2)+(G3)。 频率特性函数应相乘，相频特性函数应相加。 lgA(G)=lgA (G1)+lg A (G2)+lg A(G3) L (G)=L (G1)+L (G2)+L(G3) 对数频率特性函数应相加。,2 系统的类型与对数幅频曲线低

14、频渐近线 对数幅频特性的低频段是由K/(j)v表征的。对于实际系统，v通常为0、1或2. 1）0型系统 频率特性 对数幅频 低频渐近线为一条xdB的水平线， 增益K满足 20lgK=x。,0型系统的Bode图,2） 型系统 频率特性 对数幅频,特点： 低频渐近线的斜率为-20dB/dec。 低频渐近线（或延长线）在=1处的纵坐标值为20lgK。 开环增益K在数值上也等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值。,3） 型系统 频率特性 对数幅频,特点： 低频渐近线的斜率为-40dB/dec。 和型系统一样，低频渐近线（或延长线）在=1处的纵坐标值为20lgK。 系统的开环增益K在数值上也

15、等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频率值的平方。,3 传递函数的实验确定 在感兴趣的频率范围内，给被测系统输入不同频率的正弦信号，测量系统相应输出的稳态值和相位，作出对数幅频和相频特性曲线。 将测得的对数幅频特性曲线用斜率为0、20、40dB/dec等的直线近似，求得系统的对数幅频特性曲线的渐近线。 先假设被测系统是最小相位型的。根据所求的对数幅频渐近线，写出系统的传递函数和相频特性的表达式，并画出相频特性曲线。把所求的相频特性曲线与由实验求得的相频特性曲线进行比较,若两曲线能很好滴吻合，且在高频时它们的相角都趋于-90(n-m)，则表明所测的传递函数是最小相位型的。 如果由传递函数求得的相角比由