自动控制原理第三章时域分析法

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1、第三章 时域分析法,3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 控制系统的稳定性和代数判据 3-5 稳态误差的分析和计算,3-1 控制系统的时域指标,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,动态和稳态过程,3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。,4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。,1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单

2、位脉冲、单位加速度、正弦等,2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成,与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标,控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。 实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：,B,动态性能指标定义1,上升时间tr,调节时间 ts,动态性能指标定义2,一.上升时间tr (Rising time) 响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90 %所需的时间。 延迟时间td(Delay time

3、):响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。 二.峰值时间tp (Time of peak value ) 响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。 三.调节时间ts 在稳态值h()附近取一误差带，通常取,响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。 四.超调量% 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即,超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。 五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。 tr,tp和ts表示

4、控制系统反映输入信号的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,3-2 一阶系统的时间响应,一.一阶系统的数学模型,结构图和闭环极点分布图为： T表征系统惯性大小的重要参数。 二.一阶系统的单位阶跃响应,特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。,性能指标： （1）延迟时间：td=0.69T （2） 上升时间：tr=2.20T （3）调节时间：ts=3T (=0.05),曲线,例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts。如果要求ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,-,

5、解：系统的闭环传递函数,一阶系统单位脉冲响应,三.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应曲线如图所示： 引入误差的概念： 当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实 际稳态值与给定值之差。即：,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。,一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差。,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统单位加速度响应,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,微 分 ,微 分 ,

6、等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,典型二阶系统的结构图如图3-5所示。系统的闭环传递函数为 其中K为系统的开环放 大系数，T为时间常数。,3-3 二阶系统分析 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。,（35）,与式（3-5）相对应的微分方程为 可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式

7、式中 ，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率）， 称为阻尼系数（或阻尼比）。,(3-6),闭环特征方程为： 其特征根即为闭环传递函数的极点为 1.当0 1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根 系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a),2.当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b） 3.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c） 4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d） 下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的

8、单位阶跃响应。,二.二阶系统的单位阶跃响应 1.欠阻尼情况 当0 1,二阶系统的闭环特征根为 Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为,曲线：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-wn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。,角的定义, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差； =0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。,注：系统对于超调量的要求,对一般系统，总希望超调量较小

9、。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度跟踪特性较好。,对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。 机床刀架系统。,上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当0时，系统的零阻尼响应为： 等幅振荡曲线，振荡频率为wn wn称为无阻尼振荡频率。 另外，若过大，如 ，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但

10、振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。 1.上升时间tr 由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,当wn一定时，越小，tr越小； 当一定时，wn越大，tr越小。 2.峰值时间tp,对式两边求导，并令其=0，得：,代入 得：,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间 所以应取n=1。 于是 当wn一定时，越小，tp越小； 当一定时，wn越大，tp越小。 3.超调量%,所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振 荡频率wn的大小无关。,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之间

11、,相应的超调量25%-2.5%。 4.调节时间ts 根据定义： 不易求出ts，但可得出wnts与的关系曲线：,调节时间不连续的示意图,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误差带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。 曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。 近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。 当=0.8时,常把 这一项 去掉。写成 即,在设计系统时, 通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率wn来决定。,可近似表示为：,两边取对数,得：,5.振

12、荡次数N N的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。 Td为阻尼振荡的周期。,2.过阻尼情况。 当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为,式中： 过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同 的一阶系统的串联。 当系统的输入信号为单位阶跃函数时，,则系统的输出量为 拉氏反变换得：,响应曲线如图： 起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出，当 , (临界阻尼）时，

13、 ,当 ， 时， 当 ， 时， 由此可见， 当 时， 二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1 来估算。 当 时，临界阻尼二阶系统 ，则 则临界阻尼二 阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。,例1:已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA =13.5,这时系统的动态性能指标如何?,解:系统的闭环传递函数为:,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:,由此可见,KA越大, 越小,wn越大,tp越小,%越大,而

14、调节时间ts无多大变化。 系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振 荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似,为大时间常数T的一阶系统来估计,即: 调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,KA增大， tp减小， tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。,系统开环传递函数

15、,闭环传递函数:,等效阻尼比：,增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td, 即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。,例3.图: 是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为,式中kt为速度反馈系数. 为系统的开环增益。 (不引入速度反馈开环增益 ) k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。,闭环传递函数 显然 ，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率wn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。,等效阻尼比：,在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比t增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。,高阶系统的暂态性能近似分析,高阶系统的闭环传递函数一般表示为： 设系统