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1、第五章 频率法,频率法所研究的问题，仍然是控制系统的控制性能：稳 定性，快速性和稳态精度。 频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应。 频率特性频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频率特性是一种稳态响应特性，但它不仅反映系统的稳 态性能，而且可以用来研究系统的暂态性能.,第一节 频率特性,输入正弦信号：e1 = E1Sin wt 在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = e1 = e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1 - = 与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关 e1 1
2、+jwRC G(jw) = 1/(1+jwRC) 频率特性 线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入之比。,频率特性,幅相特性: G(jw) = A(w)ej(w) 幅频特性： A(w) = |G(jw)| A(w) = |e2/e1| = 1/1+(wRC)21/2 相频特性：(w) =G(jw) (w) =2(w) -1(w) = - tg-1(RCw) 实虚特性: G(jw) = P(w) + j Q(w) 实频特性 P(w) = ReG(jw) 虚频特性 Q(w) = ImG(jw),幅相特性与传递函数之间的关系,频率特性-传递函数? b0Sm + bm C(S) = G(S)R(
3、S) = R(S) a0Sn+an r(t) = Arsim wt， R(S) = Arw/(S2+w2) b0Sm + bm Arw C(S) = * a0Sn + an S2+w2 Ci B D = + + i=1 S-Si S+jw S-jw 式中：Si 特征根. Ci，B，D待定系数,幅相特性与传递函数之间的关系,C(t) = CieSit + Be-jwt + Dejwt 对于稳定的系统，特征根Si具有负实部，C(t)的第一部分瞬态分量 CieSit将随时间t的延续而逐渐消失，C(t)的稳态输出为： CS(t) = Be-jwt + Dejwt 其中：B = G(S)* Arw/(S
4、2 + w2)(S + jw)|S= - jw = G(-jw) Arw/(S - jw)|S= - jw = | G(jw)| e-jG(jw）Ar/(-2j) = | G(jw)| Ar e-jG(jw -/2) /2 同理：D = | G(jw)| Ar e jG(jw -/2) /2,幅相特性与传递函数之间的关系,CS(t) = |G(jw)|/2Are-jG(jw -/2) +|G(jw)|/2 ArejG(jw-/2) = |G(jw)|/2 Are-jG(jw -/2) + ejG(jw -/2) = |G(jw)|Arcoswt +G(jw)-/2 = |G(jw)|Arsin
5、wt +G(jw) = Acsin(wt+） 系统的稳态输出CS(t)是与输入同频的正弦 振幅：Ac= | G(jw)|Ar 相位: =G(jw),幅相特性与传递函数之间的关系,输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | S=jw 输出输入的相位差（相频特性）： (w) = - 0 =G(jw) =G(S) | S=jw 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕,一、幅相频率特性(Nyquist曲线),G(jw) = A(w) e j(w) 矢量的长度 = A(w) 相对于极坐标轴的转角 =(w) 当w由0到变化时
6、，G(jw)矢量 的终端描绘出一条曲线称 为Nyquist曲线。 一条曲线, 同时表示幅频和相 频特性-幅相频率特性.,幅相频率特性,绘制方法: 1. G(jw) = A(w) e j(w) 计算幅值, 幅角相对简单, 但计算幅角时有时会遇到多值性的问题. 2. G(jw) = P(w) + jQ(w) 计算实部, 虚部相对复杂.,二、对数频率特性（Bode图）,通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形 对数频率特，也称Bode图。 G(jw) = A(w) e j(w) lg G(jw) = lg A(w) + j(w)lg e = lg A(w) + j0.434(w) 两张图：对数
7、幅频特性, 对数相频特性,对数频率特性,对数幅频特性图 纵坐标：L(w) = 20lg | G(jw) | = 20 lg A(w) 单位：分贝(db) 线性分度 A(w)每变化10倍，L(w)变化20db。 横坐标：w 单位：1/S 对数分度 w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度。,对数频率特性,对数相频特性图 纵坐标：(w) =G(jw) 单位：度 线性分度 横坐标： w 单位：1/S 对数分度 w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度 对数幅频特性 + 对数相频特性 = 对数频率特性（Bode图）,对数频率特性,特点： 1、 对串联环节，变乘为加； 2、 有近似画法； 3、 高低频特性兼
8、顾。,第二节 基本环节的频率特性,一、 比例环节 传递函数：G(S) = K 幅相频率特性：G(jw) = K = K + j 0,比例环节,对数频率特性：L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg K (w) = 0 K1， 20lgK0db K1， 20lg K0db,惯性环节,传递函数：G(S)= K/(TS+1) 幅相频率特性：G(jw)= K/(jwT+1) K=1时， G(jw)=P(w)+jQ(w)=1/(1+T2w2)-jTw/(1+T2w2),惯性环节,对数频率特性： 对数幅频（近似画法）： L(w)= 20 lg A(w) = -20lg(1+T2w2)1/2 低频
9、段:w1/T，L(w)-20lg1= 0db 高频段: w1/T，L(w)-20lgTw (直线) w = 1/T， L(w)= -20lgTw=0 db (w=1/T处过横轴) w1=10/T， L(w1)= -20lgTw1= -20lg10 = -20 db 斜率：-20db/dec （每十倍频程 -20db） 转折频率：1/T 对数相频： (w) =G(jw) =1/ (1+jTw) = - tg-1Tw,惯性环节,1/T处误差最大： 误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg (1+T2w2)1/2w=1/T - 0 = -20 lg 21/2 - 0 = -3 db,积分环节,传
10、递函数： G(S) = 1/S 幅相频率特性： G(jw) = 1/(jw) = 0j(1/w),积分环节,对数频率特性： L(w) = 20lg A(w) = -20lg w 直线 w=1， L(w) = 0， （过横轴） 斜率：-20db/dec (w) = - 90,(W),W,W,-20db/dec,1/T,0,0,-90,振荡环节,传递函数： G(S) = Wn2/(S2 + 2WnS + Wn2) =1/(T2S2 + 2TS + 1) 标准形式 幅相频率特性： G(jw) = 1/(1-T2w2+j2Tw) A(w) = 1/(1-T2w2)2 +(2Tw)21/2 (w)= -
11、tg-12Tw/(1-T2w2),振荡环节,对数频率特性： L(w)= 20 lg A(w) = - 20lg(1-T2w2)2+(2Tw)21/2 低频段： w1/T， L(w) - 20lg 1 = 0db 高频段： w1/T， L(w) -20lgT2w2 = - 40lgTw 直线 斜率：- 40db/dec (每十倍频程 -40db) 转折频率：w=1/T (w) = - tg-12Tw/(1-T2w2),振荡环节,误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg (1 - T2w2)2 + (2Tw)21/2w=1/T - 0 = -20lg (2) db 误差除与w有关, 还与有关.
12、 0.5 负误差 0.5 正误差 令:dA(w)=0,可得峰值频率: wm = wn(1- 2)1/2 0.707, 无峰值频率 0.707, wmwn,转折频率前出现峰值. =0, wm=wn, 信号频率(峰值频率)=自然振荡频率-共振.,微分环节,理想微分环节 G(S) = S 是积分环节的倒数 L2(w) = - L1(w) 2(w) = -1(w),微分环节,一阶微分环节 G(S) = TS + 1 是惯性环节的倒数 二阶微分环节 G(S)= T2S2 + 2TS + 1 是振荡环节的倒数。,一阶不稳定环节,具有正实部特征根（即不稳定根）的环节-不稳定环节。 传递函数: G(S) =
13、1/(TS-1) 频率特性: G(j) = 1/(jT -1) 幅频特性: 与惯性环节相同 相频特性: 与惯性环节不同 实频特性: 与惯性环节不同 虚频特性: 与惯性环节相同,一阶不稳定环节,当由0变化时，惯性环节的相频由0趋向于-90；相 位角的绝对值小,称为最小相位环节. 一阶不稳定环节的相频则由-180趋向-90。相位角的绝对 值大称为非最小相位环节. 推广之，传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统） 称为非最小相位环节（或系统），而传递函数中没有右极点、 右零点的环节（或系统）则称为最小相位环节（或系统）。,一阶不稳定环节,一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所
14、 不同，是在-180至-90范围内变化.,时滞环节,传递函数： G(S) = e-S 幅相频率特性： G(jw) = e-jw A(w) = 1 (w) = -w,时滞环节,对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 (w) = -w （横坐标对数分度，曲线）,第三节 系统开环频率特性,一、 系统开环幅相频率特性 简单系统常用的两种方法: GK(jw) = P(w) + jQ(w) 无tg-1的多值性问题. GK(jw) = A(w) e j(w) 较简单，可与对数特性兼容.,开环幅相频率特性举例,例1: 试绘制某0型单位负反馈系统的开环幅相频率特性。 GK(
15、S) = K/ (1+T1S)(1+T2S) 解： GK(jw) = K/ (1+jT1w)(1+jT2w) A(w)= K/(1+T12w2)1/2(1+T22w2)1/2 (w)= -tg-1T1w - tg-1T2w,开环幅相频率特性举例,例2: 试绘制某 I 型单位负反馈系 统的开环幅相频率特性。 GK(S) = K/S(1+ TS) 解： GK(jw) = K/ jw(1+ jTw) A(w) = K/ w(1+ T2w2)1/2 (w) = - 90- tg-1Tw,2. 复杂系统开环频率特性,复杂系统是由多个环节环节组成, 若逐点计算绘图十分繁琐. 工 程上常用概略幅相曲线绘制法. (1). 将开环传递函数按典型环节分解 K
