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1、第八章 状态空间分析法,8.1 概 述,在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入单输出系统。但传递函数只能反映出系统输出变量与输入变量之间的外部关系，而了解不到系统内部的变化情况。此外，传递函数描述又是建立在零初始条件的前提下，故它不能包含系统的全部信息。在设计多变量和时变系统时，采用经典控制理论会遇到很大的困难。,经典控制理论:,以微分方程和传递函数为数学基础分析和设计控制系统 主要研究单输入、单输出的线性定常系统 主要方法是频率特性法和根轨迹法 极为有效，广为应用,在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。这时系统是用一阶矩阵向量微分方程来描述的，采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简
2、洁明了，并且易于用计算机求解。 状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的线性代数方程。,局限性：,传递函数对处于系统内部的变量不便描述，对某些内部变量不能描述 对于时变系统、复杂的非线性、多输入多输出系统的问题不适用,表8.1 经典和现代控制理论对比,8.2 动态系统的状态空间分析法,一、基本概念,1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 系统的状态可以定义为信息的集合。 表征系统运动的信息。,2.状态变量,系统的状态变量是指可以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量x1、x2、xn,并且满足下列两个条件: (1) 在任何时刻t=t0,这组
3、变量的值x1(t0)、x2(t0) 、xn(t0)都表示系统在该时刻的状态; (2) 当系统在tt0的输入和上述初始状态确定的时候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为。,3.状态矢量,设一个系统有n个状态变量x1、x2、xn,用这n个状态变量作为分量所构成的矢量X,称为该系统的状态矢量。,4.状态空间,状态矢量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。,5.状态方程,描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶方程组,称为状态方程。,例1 某机械动力系统如图所示,质量-弹簧-阻尼系统的微分方程式为,选择位移x(t)=x1(t)和速度 (t)=x2(t)作为系统
4、的状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程，即,若用矢量矩阵的形式表示,则可写成,写成矢量矩阵形式的标准型,即,系统的状态方程,6.输出方程,在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式,称为系统的输出方程。,7.状态空间表达式,状态方程和输出方程构成对一个系统性能的完整描述,称为系统的状态空间表达式。,若系统是rmn维空间,即,若是线性系统,可写成,A-系数矩阵 nn B-控制矩阵 nr C-输出矩阵 mn D-直接传递矩阵 mr,式中,8.状态空间表达式的系统方框图,状态空间表达式的系统方框图如图所示,二、系统传递函数的状态空间表达式,由系统的高阶微分方程式或传递函数,求出相应
5、的状态空间表达式,这类问题称为实现问题。,若系统的传递函数为,正常情况下，nm。,1.能控标准型实现,写成状态方程和输出方程,例 已知系统的传递函数为,试求出其对应的能控标准型。,解:,首先把G(s)分母中s最高次项系数变成1,用2除G(s)的分母与分子,得,直接写出系统的能控标准型:,2.能观测标准型实现,能控标准型和能观测标准型：其系数矩阵互为转置关系,而前者的b为后者的CT,前者的CT为后者的b。具有这种结构关系的称为互有对偶关系。,例 已知系统的传递函数为,试写出其能观测标准型。,解:,直接写出系统的能观测标准型:,3.对角阵标准型实现,当G(s)的所有极点为互异的实数时,则得,式中c
6、i,称为s=si极点处的留数,则,由上式可求得系统的状态空间表达式为,例 已知 试把G(s)化成对角阵标准型状态方程。,解：,将G(s)展开为部分分式，可得,则可得对角阵标准型,三、由系统状态方程求传递函数(矩阵),对于一个单输入单输出的n阶系统,其动态方程为,根据求传递函数的定义,假设相应变量的初始条件为零。,对上式两边进行拉氏变换,有,所以,由此得传递函数的计算公式为,例 已知系统的动态方程为,求系统的传递函数。,解:,由题可知,由此可算出,8.3 多输入多输出(MIMO)系统状态空间表达式和传递矩阵,一、多输入多输出n阶线性系统的状态空间表达式,多输入多输出系统方框图,可写出方程组,将方
7、程组改成矩阵微分方程的形式,即,式中,同理得输出方程,式中,二、传递矩阵,在零初始条件时,用拉氏变换的形式表示的输出与输入关系如下:,用矩阵方程表示为,可以写成,G(s)即为双输入双输出系统的传递矩阵。,推广到有r个输入量和m个输出量的多变量系统,其传递矩阵G(s)为,三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系,设系统的状态空间表达式为,对上式进行拉氏变换,得,若X(0)=0,则上式可改写成X(s)=(sI -A)-1BU(s)代入第二式得,式中,定义为传递矩阵,所以,特征方程为,因为,设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。,例:,解:,已知,故,设系统的状态方程为,试求系统的特征方程和特
8、征值。,例:,系统的特征方程为,解:,特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。,四、闭环传递矩阵与开环传递矩阵的关系,多变量控制系统,其前向通道的传递矩阵为G0(s);反馈通道的传递矩阵为H(s); Y(s)和U(s)分别为输出输入矢量:E(s)和B(s)分别为误差和反馈信号矢量。,故得,则得闭环系统的传递矩阵为,若H(s)为单位矩阵,即H(s)=I,则,五、多变量控制系统的解耦问题,多变量系统,而且存在交联现象,其输入量对输出量都会产生影响。,通常要求一个输入量只对一个输出量有影响。这就是多变量系统的解耦问题。,例如：双变量系统的输出与输入关系,解耦
9、的方法是加入一组补偿器,使最后的闭环传递矩阵成为对角线矩阵,这样可以使n个输入和n个输出互相独立,达到消除相互干扰的目的。 补偿后的系统传递函数矩阵成为对角线矩阵,现在考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵的情况,于是可得,式中,由I+G0(s)左乘上式,得,以I-G(s)-1右乘上式的两边,则可得,所以解耦矩阵为,例 多变量控制系统如图所示,试确定一组补偿器的传递函数矩阵,使得闭环系统的传递函数矩阵为,解:,由于,解耦后系统前向通道的传递矩阵,得到,根据,所以,因此,8.4 线性系统能控性和能观测性,一、能控性和能观测性的概念,闭环系统结构图如下图所示,其闭环传递函数为,某一系统的状态方程和输出方程
10、为,二、线性定常系统能控性及其判定准则,1.能控性定义,设系统为,如果用一个适当的控制信号,在有限的时间内(t0tt1)使初始状态X(0)转移到任一终止状态X(t1),那么 所代表的系统就叫作状态能控的,如果对任意初始状态都能控,这个系统就叫作状态完全能控的。,2.能控性判定准则,线性定常系统 状态完全能控的充分必要条件是:矢量B,AB,A2B,An-1B是线性无关的,或者nn矩阵 的秩为n(即满秩)。,解:,所以,因为rankM=1,所以该系统是不能控的。,解:,所以,因为rankM=2,所以该系统是不能控的。,解:,MMT非奇异,故M满秩,系统是能控的。,几点结论:,(1)系统的能控性,取
11、决于状态方程中系数矩阵A和控制矩阵B。矩阵A是由系统的结构参数决定的,矩阵B是与控制作用的施加点有关的,因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数和控制作用的施加点。,(2)在A为对角矩阵的情况下,如果B矩阵的元素有为0的(对于多变量系统,B矩阵元素某一行全部为0的),则与之对应的状态方程必为齐次方程,即与u(t)无关,系统一定是不能控的。,(3)在A矩阵为约当标准型矩阵的情况下,由于前一个状态总是受下一个状态控制的,故只当B矩阵的最后一行元素全为0时,系统是不完全能控的。,(4)不能控的状态,在方框图中表现为存在与u(t)无关的孤立方块。,(5)如果系统的状态方程是能控标准型,则系统一定是完
12、全能控的。,三、线性定常系统输出的能控性问题,解:,系统的状态能控矩阵为,因为rankM=1,所以该系统状态不能控。,系统的输出能控矩阵为,rankM=1=m,因此系统是输出能控的。,四、线性定常系统的能观测性及其判据,如果在有限时间内,每个初始状态x(0)都能由y(t)的观测值确定,那么系统就叫完全能观测的。,系统的状态方程和输出方程,Xn维矢量； Ym维矢量； Ann矩阵；Cmn矩阵。,线性定常系统完全能观测的充分必要条件是矩阵,的秩为n。,试判定该系统的能控性和能观测性。,例 给定系统的动态方程为,解:,已知,所以系统是完全能观测的。,所以系统输出能控。,本章小结,1. 正确理解基本概念：状态变量、状态方程、状态空间表达式、传递矩阵、线性定常系统能控性和能观测性等。,2掌握基本方法：当已知系统传递函数时，可求出其对应的能控标准型和能观测标准型。,3根据线性定常系统能控性判定准则和能观测性判定准则分别判定系统的能控性和能观测性。,
