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1、2.3.2平面与平面垂直的判定,二面角,知识回顾,1.在平面几何中“角“是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,2.在立体几何中,“异面直线所成的角“是怎样定义的？,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。,思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？,它们的共同特征都是将三维空
2、间的角转化为二维空间的角,即平面角。,一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,平面角由射线-点-射线构成。,二面角由半平面-线-半平面构成。,l,A,B,P,Q,二面角的表示,l,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的画法,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边 （顶点）,表示法,AOB,图形,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两
3、条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,二面角的度量,l,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:二面角D-AB-D的大小,求:二面角A-AB-D的大小,A,O,D,例2:已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,l,A,O,D,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,得 AD l,AO=2 ，AD=4, AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角
4、l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,AO,AOl,OD l,l平面AOD,小结:二 面 角,一、二面角的定义：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的计算：,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、根据定义作出来 2、利用直线和平面垂 直作出来,1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的 角 3、计算所求的角,一“作”二“证”三“计算”,从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做
5、二面角的面。,1、二面角的平面角 必须满足三个条件 2、二面角的平面角 的大小与 其顶点 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量,练习 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,练习 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,O,分析： OAC 120,AO=BD=1, AC=2,四边形ABDO为矩形, DO=AB=3,在Rt COD中，,练习 如图，已知A、B
6、是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,BDl AOBD，四边形ABDO为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面CAO AOl CODO,O,在Rt COD中，DO=AB=3,E,解：在平面内，过A作AOl ，使 AO=BD,连结CO、DO, 则OAC就是 二面角l的平面角，即 OAC 120，, BD=1 AO=1，在OAC中，AC=2， ,面面垂直的判定,一、二面角的定义：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的计算：,二
7、面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、根据定义作出来定义法 2、利用直线和平面垂直作出来 垂线垂面法,1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的 角 3、计算所求的角,一“作”二“证”三“算”,从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。,22,1、二面角的平面角 必须满足三个条件 2、二面角的平面角 的大小与 其顶点 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量,复习回顾：,观察下面两个图形,它们之间有什么关系?,如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平
8、面相互垂直.,画法：,记作：,一、两个平面垂直的定义,二、两个平面垂直的判定定理,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,已知：AB，AB. 求证：。,证明：设=CD， AB，CD，ABCD 在平面内过点B作直线BECD，则ABE是二面角-CD-的平面角， 而ABBE，故-CD-是直二面角 。,两个平面垂直的判定定理：,线线垂直,线面垂直,面面垂直,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中, 求证：平面AA1C1C平面BB1D1D,例题讲解：,例2如右图：A是BCD所在平面外一点，AB=AD，ABC=ADC=
9、90，E是BD的中点，求证：平面AEC平面ABD,证明： ABC=ADC=90 AB=AD，AC=AC . ABC ADC. CB=CD 又 AB=AD， E是BD的中点， AE BD， CE BD, AE EC=E， BD 平面AEC. 又BD在平面BCD内， 平面AEC平面ABD,若将此条件改为BAC=DAC=90，则结论成立吗？,例3在空间四边形ABCD中,若AB=BC, AD=CD,E为对角线AC的中点. 求证:平面ABC平面BDE,C,A,D,B,E,2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则.（ ）,课堂练习,1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条 直线，则.（ ）,3
10、. 如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 则.（ ）,一、判断：,4.若m，m/，则.( ),1.过平面的一条垂线可作_个平面 与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,二、填空题：,3.过平面的一条斜线，可作_个平 面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.,一,无数,无数,一,在空间四边形ABCD，AB=BC，AD=CD， E、F、G分别是AD、CD、AC的中点. 求证:平面BEF 平面BDG。,C,A,D,B,E,F,G,三、证明题：,归纳小结：,(1)判定面面垂直的两种方法：,定义法,根据面面垂直的判定定理,(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；,(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来 解决.,
