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1、经济数学 Mathematics for Economists More Advanced,专题一:雅可比矩阵 Topic1: Jocobi Matrix,雅可比矩阵 Jocobi Matrix,函数 f :Rm Rn, f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), , f n (x)T ,下面矩阵称为雅可比矩阵。,雅可比矩阵 Jocobi Matrix,效用函数为 u(x1, x2, , xn) 价格向量 p=(p1, p2, , pn) T x=(x1, x2, , xn) T 收入 y, 在均衡状态下：,雅可比矩阵 Jocobi Matrix,雅可比矩阵 Jocobi Matri
2、x,雅可比矩阵 Jocobi Matrix,雅可比矩阵 Jocobi Matrix,海森矩阵 Hessian Matrix,隐函数定理 Implicit Function,如果 (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， (3)F (x0,y0)0， (4) Fy (x0,y0) 0， 则 F (x,y)0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得,隐函数定理 Implicit Function,F (x, f (x)0，且f ( x0) y0 f (x) 连续， f (x) 有连续导数且,隐函数,函数 f :Rm Rn,
3、 mn f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), , f n (x)T , 如果 f 是线性函数，该系统表现为：,隐函数,或Ax=y ,如果A的秩是n，可以得到：,隐函数,推广隐函数定理,隐函数定理：如果 mn，函数 f 可微，雅可比矩阵的秩为n, 则存在n个可微函数使得，,需求函数的存在性,在前面效用函数的例子中，把价格和收入作为给定变量，则雅可比行列式为,需求函数的存在性,如果假设效用函数符合边际效用递减的性质，可以证明雅可比矩阵秩为n+1，根据隐函数定理， 可以表示为价格和收入的函数。,要素需求函数的存在性,生产函数为 f (x1, x2, , xn) 生产要素价格向量 w=
4、(w1, w2, , wn) T 给定成本 c,要素需求函数的存在性,则雅可比行列式为,要素需求函数的存在性,如果函数f的海森矩阵非奇异，可以证明上述雅可比矩阵也非奇异，根据隐函数定理， 可以表示为价格和成本的函数。,反函数 Inverse Function,当n=m，如果存在g 使得 g称为 f 的反函数 如果雅可比矩阵秩为n，则反函数存在,专题二: 凹函数、凸函数 Topic2: Concave and Convex Function,回顾：凹函数 Concave,凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2)
5、,A,B,C,凹函数另一定义,凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1) f (x1) (x2 x1),A,C,1,x1,x2,回顾：凸函数 Convex,凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2),A,B,C,凸函数另一定义,凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1) f (x1) (x2 x1),A,B,C,函数凹凸性与海森矩阵,如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函数 f 的海森矩阵半正定，函数 f 是凸函数； 如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函
6、数 f 的海森矩阵半负定，函数 f 是凹函数； 如果一个函数 f 的海森矩阵负（正）定，函数 f 是严格凹（凸）函数。但是，反之不成立。严格凹函数的海森矩阵在某些点可能是奇异的。 函数的严格凹（凸）文献阅读：P143-4,函数凹凸性判断练习,检验下列函数的凹凸性,专题三: 拟凹函数、拟凸函数 Topic 3: Quasi-Concave and Quasi-Convex Function,上等值集与下等值集,设函数 f ：SRn R, S为凸集，集合 U (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个上等值集。 L (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个
7、下等值集,拟凹函数与拟凸函数,设函数 f ：SRn R, S为凸集，如果任意b R集合U (f , b) 总为凸集，称函数 f 为拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为拟凸函数。 如果任意b R集合U (f , b) 总为严格凸集，称函数 f 为严格拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为 严格拟凸函数。,拟凹函数与拟凸函数代数定义,设函数 f ：SRn R, S为凸集， 如果任意u,v Rn (0,1), f (v) f (u),有 f ( u (1-) v), f(u), f为拟凹函数 f(v), f为拟凸函数,拟凹
8、函数与拟凸函数几何图示,M,N,N2,M2,拟凸函数,拟凹函数,拟凹函数与拟凸函数,当无差异曲线凸向原点, 效用函数是拟凹函数。为什么？ 当等产量曲线凸向原点，生产函数是拟凹函数。为什么？,练习：,试证明： 一个凸函数必定是拟凸函数； 一个凹函数必定是拟凹函数； 如果函数f (x) 是（严格）拟凹函数，则 f (x) 是（严格）拟凸函数。 线性函数既是拟凸函数，又是拟凹函数,但，反之不成立,注意：一个单调函数既是拟凹函数，又是拟凸函数。,证明,函数 f 为凹函数，对任意u,v Rn (0,1), 有 f ( u (1-) v) f (u) (1-) f (v) 假设f (v) f (u),有
9、f ( u (1-) v) f(u), 所以f为拟凹函数,如果函数f (x) 二次可导，,拟凸函数和拟凹函数判断法则,在非负象限，拟凹的必要条件是： 在非负象限，拟凹的充分条件是：,拟凹和拟凸函数,，n为奇数 ，n为偶数,，n为奇数 ，n为偶数,在非负象限，拟凸的必要条件是： 在非负象限，拟凸的充分条件是：,拟凹和拟凸函数,证明下面函数是拟凹函数：,拟凹和拟凸函数练习,证明下面函数是拟凹函数：,答案,专题四: 齐次函数 Topic 4: Homogeneous Function,齐次函数,设函数 f ：Rn R, tR， x Rn, 如果 f (tx)= tm f (x), 亦即f (tx1,
10、 , txn )= tm f (x1, ,xn ), 称函数 f 为m次齐次函数。 线性函数为一次齐次函数。为什么？,齐次函数,练习： f (x,y,w)=x/y+2w/3x g (x,y,w)=x2/y+2w2/x h (x,y,w)=2x2+3yw-w2 证明： C-D效用函数导出的需求函数为零次齐次函数,齐次函数与规模报酬,假设生产函数为C-D函数 f (x)=A L K 。 该函数为 次齐次函数 判断其与规模报酬之间的关系,欧拉定理 Eulers Theorem,f (tx)= tm f (x) 两边对t求导，得到 令t=1，得到,欧拉定理 Eulers Theorem,如果C-D生产
11、函数是一次齐次，则,CES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution,假设生产函数为 y=f (a,b),则替代弹性,平均函数,边际函数,CES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution,或,CES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution,CES生产函数 其中A0, 01, -1 0 可以证明：上述函数满足一次齐次性，因而： 试证明CES函数的等产量线是凸函数，CES函数是拟凹函数。,可以推出等产量线是减函数，向下倾斜 还可以推出等产量线是严格凸函数,因为,检验生产函数的拟凹性,可见，CES生产函数拟凹。,练习,求C-D生产函数的替代弹性 f (x)=A L K 。 答案：1,
