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1、第2讲 点、直线、平面之间的位置关系,热点突破,高考导航,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,高考体验,1.(2015全国卷,文18)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED;,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以ACBD. 因为BE平面ABCD, 所以ACBE. 故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,2.(2013全国卷,文18)如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点. (1)证明:BC1平面A1CD;,(1)证明:连接AC1交A1C于点F, 则F为AC1
2、中点. 又D是AB中点,连接DF, 则BC1DF. 因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1平面A1CD.,(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C-A1DE的体积.,3.(2015全国卷,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);,解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.,(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.,4.(2016全国卷,文19)如图,
3、四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB;,(2)求四面体N-BCM的体积.,高考感悟 1.考查角度 (1)线面平行、垂直的证明. (2)根据题中条件求几何体体积. (3)平面基本性质的应用. 2.题型及难易度 选择题、解答题,中档.,热点突破 剖典例促迁移,空间线线、线面关系的证明,热点一,【例1】 (2016山东卷,文18)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB;,证明:(1)因为EFDB,所以EF与DB确
4、定平面BDEF. 如图(1),连接DE. 因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC. 同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF. 因为FB平面BDEF,所以ACFB.,(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.,证明:(2)如图(2),设FC的中点为I,连接GI,HI. 在CEF中,因为G是CE的中点. 所以GIEF, 又EFDB, 所以GIDB. 在CFB中,因为H是FB的中点, 所以HIBC. 又HIGI=I, 所以平面GHI平面ABC, 因为GH平面GHI. 所以GH平面ABC.,【方法技巧】 (1)证明线面平行的常用方法 利用线面平行的判定定理,把
5、证明线面平行转化为证线线平行; 利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)在求体积时,要注意等积法(转换几何体的顶点位置)的应用,避免思维障碍.,热点训练:(1)(2016湖南联考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1=60,AC=2. 求证:AB1CC1;,(1)证明:连接AC1,CB1, 则ACC1和B1CC1都为正三角形. 取CC1的中点O,连接OA,OB1, 则
6、CC1OA,CC1OB1, 则CC1平面OAB1, 则AB1CC1.,(2)(2016贵州贵阳联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,D,E分别为CC1和A1B1的中点,且A1A=AC=2AB=2. 求证:C1E平面A1BD;,求点C1到平面A1BD的距离.,空间面面位置关系的证明,热点二,【例2】 (2015山东卷,文18)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC, BC的中点. (1)求证:BD平面FGH;,(1)证明:法一 连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH. 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE, G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC
7、, 所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点, 又H为BC的中点,所以HMBD. 又HM平面FGH,BD平面FGH, 所以BD平面FGH.,法二 在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF, H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF, 所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF. 在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点, 所以GHAB. 又GHHF=H, 所以平面FGH平面ABED. 因为BD平面ABED, 所以BD平面FGH.,(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.,(2)解:连接HE, 因为G,H分别为AC, BC的中点, 所以GHAB, 由ABBC,得GHB
8、C. 又H为BC的中点, 所以EFHC,EF=HC, 因此四边形EFCH是平行四边形, 所以CFHE. 又CFBC,所以HEBC. 又HE,GH平面EGH,HEGH=H, 所以BC平面EGH. 又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.,【方法技巧】 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法,面面垂直性质定理是证明线面垂直的一种核心方法.,立体几何中的折叠问题,热点三,(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.,【方法技巧】 平面图形翻折为
9、空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量,这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.,备选例题 挖内涵寻思路,【例题】 (2015湖北卷,文20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.,(1)证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;,(1)证明:因为P
10、D底面ABCD,所以PDBC. 由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD, 因为DE平面PCD,所以BCDE. 又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC. 而PCBC=C,所以DE平面PBC. 由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形, 即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC, DEB.,(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求 的值.,阅卷评析 抓关键练规范,立体几何证明的严谨性 (2016全国卷,文18,12分)如图,已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形,P
11、A= 6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明G是AB的中点;,评分细则: (1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.1分 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.2分 又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.3分 又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.4分 注:判断线面垂直,应满足以下条件,一直线垂直于该平面内的两相交直线,两直线相交的条件“PDDE=D”不能漏.,(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.,评分细则: (2)解:在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.5分 理由如下: 由已知可得PBPA,PBPC, 又EFPB, 所以EFPA,EFPC, 又PAPC=P,因此EF平面PAC, 即点F为E在平面PAC内的正投影.7分 连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.,【答题启示】 1.在应用平行、垂直的判定定理与性质定理时,所满足的条件应尽量列举齐全,切不可随意省略造成失分. 2.在求体积时,必要的证明过程不能省略,否则也易造成失分. 3.计算要准确,计算失误,而思路和公式正确,可得部分分.,
