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1、第2讲 函数与方程思想、数形结合思想,-2-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,高考对函数与方程思想的考查频率较高,在高考的各题型中都有体现,特别在解答题中,从知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查.,-3-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用一 函数与方程思想在解三角形中的应用 例1为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB= 60,BC的长度大于1 m,且AC比AB长 0.5 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为 ( ),答案 D,-4-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-5-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方
2、法归纳,思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现;方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.,-6-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,答案 (1)C (2)C,-7-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,解析 (1)由于ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且内角和等于180,B=60. 在ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B, 即7=4+BD2-2BD, BD=3或-1(舍去),可得BC=6,-8-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-9-,思想
3、方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用二 函数与方程思想在不等式中的应用 例2当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案 -6,-2,-10-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-11-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题. 2.函数f(x)0或f(x)0或f(x)max0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,再利用函数最值求解.,-12-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,突破训练2设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数
4、和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 .,答案 (-,-3)(0,3),-13-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,解析 设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数. 又当x0, 所以当x0时,F(x)也是增函数.可知F(x)的大致图象如图. 因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3), 所以,由图可知F(x)0的解集是(-,-3)(0,3).,-14-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,函数与方程思
5、想在数列中的应用 例3已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,S7=70,且a1,a2,a6成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设 ,数列bn的最小项是第几项,并求出该项的值.,-15-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-16-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.,-17-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,答案 C,-18-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面: (1)借助
6、有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.,-19-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.,-20-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用一 利用数形结合求与方程根有关的问题 例1若实数a满足a+lg
7、a=4,实数b满足b+10b=4,函数 则关于x的方程f(x)=x的根的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C,-21-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,解析 在同一平面直角坐标系中作出y=10x,y=lg x以及y=4-x的图象,其中y=10x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y=4-x的交点为(2,2),所以a+b=4, 当x0时,由x2+4x+2=x易知x=-1或-2;当x0时,易知x=2,所以方程f(x)=x的根的个数是3.,-22-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化
8、为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.,-23-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,突破训练1定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),当x0,2时,f(x)=-4x2+8x.若在区间a,b上,存在m(m3)个不同整数xi(i=1,2,m),满足 ,则b-a的最小值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18,答案 D,-24-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归
9、纳,解析 由题意得f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x), 则f(x+8)=-f(x+4)=f(x). f(x)的周期为8,函数f(x)的图形如下. f(-1)=-4,f(0)=0,f(1)=4,f(2)=0,f(3)=4,f(4)=0,|f(-1)-f(0)|=4, |f(0)-f(1)|=4,|f(1)-f(2)|=4,|f(2)-f(3)|=4, 由 ,则b-a的最小值为18,故选D.,-25-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用二 利用数形结合求参数范围及解不等式,答案 B,-26-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,
10、解析 先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1xk的大致图象,再研究f(x)=x3-3x+2,kxa的大致图象.,当kxa时,令f(x)=3x2-3=0,得x=1. 当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0,-27-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.,-28-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,突破训练2(1)已知偶函数f(x)在0,+)内单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是 . (2)
11、(2018全国,文14)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 .,答案 (1)(-1,3) (2)9,-29-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,解析 (1)作出函数f(x)的大致图象如图所示. 因为f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x3.则x的取值范围为(-1,3). (2)由题意,作出可行域如图阴影部分所示.要使z=x+y取得最大值,平移直线y=-x,当且仅当直线过点(5,4)时,zmax=9.,-30-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用三 数形结合在两函数图象交点上的应用 例3函数f(x)=2sinx- ,x-2,4的所有零点之和为( ) A.2 B
12、.4 C.6 D.8,答案 D,-31-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-32-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-33-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华由于两个函数其中有一个是抽象函数,因而无法求出它们的具体的交点,所以在求其交点横坐标之和或纵坐标之和或者交点横纵坐标之和时,常利用数形结合思想,根据两函数图象的对称性求其和.,-34-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,答案 D,-35-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-36-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,-37-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,应用三 数
13、形结合在解析几何中的应用 例4已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则实数m的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4,答案 B,-38-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的有:,2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到解决.,-39-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,突破训练4如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为( ),答案 D,-40-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,解析 由题意,过点A,B分别作准线的垂线,垂足为A,B,如图所示.,-41-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面: (1)解方程或解不等式; (2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用; (3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等; (4)构造方程或不等式求解问题.,
