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1、4万有引力理论的成就学习目标1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“计算天体质量”的基本思路.3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.考试要求学考选考cc一、计算天体的质量1.称量地球的质量(1)思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力.(2)关系式：mgG.(3)结果：M，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式：mr.(3)结论：M，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量.(4)推广：若已
2、知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.二、发现未知天体1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星.2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.()(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，就可以求出太阳的质量.()(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半
3、径，可以求出地球的质量.()(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.()(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.()(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.()2.已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4106 m，则可知地球的质量约为()A.21018 kg B.21020 kgC.61022 kg D.61024 kg答案D一、天体质量和密度的计算1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求
4、地球的质量和密度.答案(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.(2)由mgG，得：M.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案由m地r知M太，可以求出太阳的质量，因此可以求出太阳的质量.由密度公式可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.天体质量和密度的计算方法重力加速度法环绕法情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgG行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm(
5、)2r(Gm或Gm2r)天体质量天体(如地球)质量：M中心天体质量：M(M或M)天体密度(以T为例)说明利用mg求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度由F引F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量例1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为()A. B.1 C.5 D.10答案B解析由Gmr得M已知，则()3()21，B项正确.例2假设在半径为R的某天体上发射一
6、颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？答案(1)(2)解析设卫星的质量为m，天体的质量为M.(1)卫星贴近天体表面运动时有GmR，M根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为.(2)卫星距天体表面的高度为h时，有Gm(Rh)M.求解天体质量和密度时的两种常见错误1.根据轨道半径r和运行周期T，求得M是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量.2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良
7、好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.二、天体运动的分析与计算1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引F向.2.常用关系(1)Gmanmm2rmr.(2)忽略自转时，mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.3.天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由Gm得v，r越大，v越小.(2)由Gm2r得，r越大，越小.(3)由Gm2r得T2 ，r
8、越大，T越大.(4)由Gman得an，r越大，an越小.例3(2015浙江10月选考科目考试)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，如图1所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()图1A.20颗小卫星的轨道半径均相同B.20颗小卫星的线速度大小均相同C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同答案C解析小卫星在不同轨道上运动时其轨道半径不同，由m2rm2r，可知不同圆轨道上小卫星的线速度大小不同，角速度不同，同一圆轨道上小卫星的周期相同.针对训练2009年2月11
9、日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是()A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大答案D解析甲的运行速率大，由Gm，得v，由此可知，甲碎片的轨道半径小，距地面的高度低，故B错；由G mr，得T，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；由man得an，可知甲的向心
10、加速度比乙的大，故D对.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系例4如图2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()图2A.a、b的线速度大小之比是1B.a、b的周期之比是12C.a、b的角速度大小之比是34D.a、b的向心加速度大小之比是92答案C解析两卫星均做匀速圆周运动，F万F向.由m得，故A错误.由mr2得，故B错误.由mr2得，故C正确.由man得，故D错误.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系1.(天体质量的估算)(2018浙江4月选考科
11、目考试)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图3)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2106 km.已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，则土星的质量约为()图3A.51017 kg B.51026 kgC.71033 kg D.41036 kg答案B解析由万有引力提供向心力得，Gm2r，则M，代入数据得M51026 kg，故选B.2.(天体质量的计算)(2018宁波市高三上学期期末十校联考)已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为()A. B.C. D.答案B解析地球绕太阳做圆周运动有mr地球表面物体
12、mg由得：太阳质量M，B正确.3.(天体密度的估算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要()A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度答案A解析取飞船为研究对象，由GmR及MR3，知，故选A.【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度4.(天体运动分析)(2016浙江10月选考科目考试)如图4所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行.已知万有引力常量G6.671011 Nm2/kg2，地球质量M6.01024 kg，地球半径R6.4103 km.由以上数据可估算()图4A.“天宫二号”的质量B.
13、“天宫二号”的运行速度C.“天宫二号”受到的向心力D.地球对“天宫二号”的引力答案B解析根据万有引力提供向心力，即m知“天宫二号”的质量m会在等式两边消去，所以无法求出“天宫二号”的质量，选项A错误；v，式中G、M、r的大小已知，所以可估算“天宫二号”的运行速度，选项B正确；“天宫二号”受到的向心力、引力都因为不知道质量而无法估算，选项C、D错误.5.(天体运动分析)(2017绍兴市9月选考科目适应性考试)伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法正确的是()名称周期/天木卫一1.77木卫二3.55木卫三
14、7.16木卫四16.7A.木卫一角速度最小B.木卫四线速度最大C.木卫四轨道半径最大D.木卫一受到的木星的万有引力最大答案C一、选择题考点一天体质量和密度的计算1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有()A.月球的质量 B.地球的质量C.地球的半径 D.地球的密度答案B解析由天体运动规律知GmR可得，地球质量M，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确.【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为()A. B.C. D.答案A解析由万有引力提供向心力得m，即M，所以.【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3.如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测
