同济大学概率统计电子教案

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1、1.4 概率的公理化定义与性质 古典概率与几何概率都是在等可能性的基础上建立起来的，因而它们的定义与使用都有很大的局限性。概率的统计定义涉及频率的稳定性，由此计算概率往往涉及大量的重复试验，这是很不现实的。简单地把频率作为概率，虽然也不失为一种较有效的方法，但是它有随机波动性。例如，两人各抛同一枚硬币10000次，一人发现了5002次正面，另一人发现了5010次正面，那么，在0.5002与0.5010这两个频率中究竞用哪一个作为概率呢?,人们经过研究发现，不论是古典概率还是几何概率或频率都具有下列三条基本性质： (I) 非负性：对于任意一个事件A， ； (II) 规范性： ； (III)可加性

2、：当事件A,B互不相容时， 在上述三条性质的基础上，数学家们采用抽象化的方法给出了概率的一般定义。,定义（概率的公理化定义） 给定一个随机试验， 是它的样本空间，对于任一事件A，规定一个实数，记作P(A)。如果P()满足下列三条公理，那么就称P(A)为事件A的概率。 公理1 非负性：对于任意一个事件A， ； 公理2 规范性： ； 公理3 可加性：当可列无限个事件 两两互不相容时，,下面我们将从这三条公理出发来推导概率的一些重要性质。 性质1： 性质2 ：(有限可加性) 当n个事件 两两互不相容时， 性质3： 对于任意一个事件A：,性质4： 对于任意的两个事件A和B，有 当事件A,B满足 时，有

3、 性质5： 对于任意一个事件A， 。 性质6：(加法公式) 对任意两个事件A,B：,加法公式可以推广到更多个事件上去。例如，对于任意三个事件A,B,C： 一般地，对于任意n个事件 ，用数学归纳法不难证明,例1 某种饮料浓缩液每箱装12听，不法商人在每箱中放入4听假冒货，今质检人员从一箱中抽取3听进行检测，问查出假冒货的概率为多少? 解 设事件A表示“抽取的3听中至少有1听是假冒货”。 记事件 表示“抽取的3听中恰有 听是假冒货”，由古典概率的计算公式得到：,由于事件 两两互不相容，且 因此，由概率的有限可加性推得 此题也可用另一种解法：设事件A的逆事件 表示“抽取的3听中没有1听是假冒货”。由

4、古典概率的计算公式得到,例2 已知事件A、B、C满足 求事件A、B、C至少有一个发生和事件A、B、C均不发生的概率。（0.75 0.25） 例3 已知 ，试在下列两种情形下分别求出 与 。 (1)事件A,B互不相容；（0.3，0.6） (2)事件A,B有包含关系。 （0，0.3）,1.5 条件概率与随机事件的独立性 一、条件概率 首先我们来考察一个简单的例子。 例1 某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的、相同牌号的冰箱100台。甲厂生产的40台中有5台次品；乙厂生产的60台中有10台次品。今工商质检队随机地从库存的冰箱中抽检1台试求抽检到的1台是次品(记为事件A)的概率有多大?,其答案是 如果

5、商店有意让质检队从甲厂生产的冰箱中抽检1台，那么，这1台是次品的概率有多大? 由于样本空间不再是全部库存的冰箱，而是缩小到甲厂生产的冰箱，因此，事件A的概率为 这两个概率不相同是容易理解的，因为在第二个问题中所抽到的次品必是甲厂生产的，这比第一个问题多了一个“附加条件”。,设事件B表示“抽到的产品是甲厂生产的”。则第二个问题可看作是在“已知B发生”的附加条件下，求事件A的概率。这个概率便是一个条件概率，记作 ，它表示“在已知B发生的条件下，事件A发生的概率”。 仔细观察后发现， 与 之间有如下关系： 其中，,下面我们给出条件概率的定义。 定义： 给定一个随机试验， 是它的样本空间。对于任意两个

6、事件A,B，其中P(B)0，称 为在已知事件B发生的条件下事件A的条件概率。 由条件概率的定义可以得到概率的乘法公式：当P(B)0时，,不难验证，条件概率 满足概率的公理化定义中的三条公理，即 （1）非负性：对任意一个事件A， （2）规范性： 。 （3）可列可加性：当可列个事件两两互不相容时,对于条件概率也可由概率的三条基本性质导出其它一些性质，例如 若还有 ， 则也可定义 ，这时有,乘法公式可以推广到更多个事件上去。例如，当P(AB)0（这保证 ）时： 一般地，当 时，可得： 用数学归纳法很容易可以验证。,例4 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6。该

7、建筑物经历了50年之后，它将在10年内倒塌的概率有多大?,解 设事件A表示“该建筑物使用寿命超过50年”，事件B表示“该建筑物使用寿命超过60年”。 按题意有 由于 ，因此， 。于是所求条件概率为,1、 设某光学一起厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为0.7，若第二次落下未打破，第三次落下打破的概率为0.9，试求三次落下而未打破的概率。（ 3/200 ） 2、 从前 个自然数中随机地选三个数 （不允许重复），令 求 （1/3）,下面我们讨论一个卜里耶的摸球模型，这个模型是一个很典型的数学模型。 例5 （摸球模型）今有一个装有a个红球和b个白球的

8、罐子。现从中摸一个球，再将球放回，并又放入同色球r个。这样进行n次后，问先连着出现m次红球，再连着出现n-m次白球的概率。,解 设事件 表示“顾客在第 次摸球时发现红球”，则 表示“顾客在第 次摸球时发现白球”。,由概率的乘法公式得，所要求的概率是：,注意这个答案只与红球与白球出现的次数有关，而与出现的顺序无关。比如，试验共进行了3次，要计算三个球中有一个白球的概率，则只需把 带入即可得 特别地，取 则是有放回的摸球，取 则是无放回的摸球。,二、随机事件的独立性 在一个随机试验中，A、B是两个事件，一般情形下它们是否发生是相互影响的，这表现在 但是，在有些情形下， 成立。在这种情形下，我们给出

9、下列随机事件的独立性定义：,定义： 对于任意两个事件A、B，如果等式 成立，那么称事件A、B相互独立。 定义： 对于任意三个事件A、B、C，如果四个等式 都成立，那么称事件A、B、C相互独立。,这里我们作四点说明： （1）在定义中如果 A、B、C只满足前三个等式，称事件 A、B、C两两独立。 （2）对于任意n个事件 ，当且仅当对任意一个 ，任意的 ，等式 都成立时，称事件 相互独立。,这里要求成立的等式总数为 （3）对于多个事件的相互独立性，可以证明类似于前面定理的结论都成立。 （4）在具体应用问题中，独立性可以根据实际问题来判定。,定理1 如果 ，那么两个事件A、B相互独立的充分必要条件是：

10、 ； 如果 ，那么两个事件A、B相互独立的充分必要条件是 。 定理2 下列四个命题是等价的： （1）事件 相互独立； （2）事件 相互独立； （3）事件 相互独立； （4）事件 相互独立。,例6 甲、乙、丙三部机床独立工作，有一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85；求在这段时间内 （1）有机床需要工人照管的概率； （2）至少有两台需要工人照管的概率；,解 设事件 分别表示“在某段时间机床甲、乙、丙不需要工人照管”，由题意可知， 相互独立，且 因此，（1）有机床需要工人照管的概率为 （2）至少有两台需要工人照管的概率为,（2）至少有两台需要工人照管的概率为

11、,例7 现有4箱产品，其中一箱是甲厂生产的，一箱是乙厂生产的，一箱是丙厂生产的，剩余的一箱混有甲、乙、丙三个厂生产的产品；现随机地取出一箱，设事件A表示“取到的这箱中有甲厂生产的产品”，事件B表示“取到的这箱中有乙厂生产的产品”，事件C表示“取到的这箱中有丙厂生产的产品”，问 是否相互独立？,解 由已知条件可知 所以 由前面的定义知： 两两独立，但不相互独立。,例8 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的，今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率。 解 设事件 表示“混合后的血清中含有肝炎病毒”，事件 表示“第 个人的血清中含有肝炎

12、病毒”，则,所以 从此例中我们可以看到，虽然每个人的血清中含有肝炎病毒的概率都很小，但是，把许多人的血清混合后，其中含有肝炎病毒的概率却很大；换句话说，小概率事件有时会产生大效应，在实际问题中应该引起足够的重视。,例6 设事件 满足 ，则 例7 设 ，且 则下列选项中必定成立的是（ ） （1）事件 和事件 互不相容； （2）事件 是事件 对立事件； （3）事件 和事件 不独立； （4）事件 和事件 相互独立。 答案：（0.8，0.75，0）（4）,三、独立性在可靠问题中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率，称为它的可靠性。元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。随着近代电子技术

13、的迅猛发展，关于元件和系统的可靠性的研究一发展成为一门新的学科：可靠性理论。 这里我们通过一些例子来说明有关的概念。,例8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 ，其中 ，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下面系统的可靠性。 （1） （2）,解（1） 每条通路能正常工作，当且仅当该通路上各元件正常工作，故每条通路上的可靠性为： ，即每条通路上发生故障的可能性为： ，由于系统由两条通路并联而成，两条通路上同时发生故障的概率为 因此上述系统的可靠性为：,（2）每一对并联元件的可靠性为： ，系统由每对并联元件串联而成，故其可靠性为： 虽然两个系统都是由2n个元件组成，但比较系统（1）和（2）的可靠

14、性可知，系统（2）的可靠性要大于系统（1）的可靠性，因为当 时，有,四、贝努利概型与二项概率 如果在一个试验中，只关心某个事件A是否发生，那么称这个试验为贝努利试验，相应的数学模型称为贝努利概型。 通常记 ，因此， 。如果把贝努利试验独立地重复做n次，这n个试验合在一起称为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中，主要研究事件A发生的次数。,设事件 表示“n重贝努利试验中事件A恰好发生了 次”，通常记 为 ，由于n个试验是相互独立的，因此， 且 因此，称 为二项概率，它恰是 的二项式展开中第 项。,例1 一份试卷上有100道单项选择题，每一道题4个答案，其中只有一个是正确的，现有一个学生来做题，试问他考一百分的概率是多大？ 解 这是一个贝努利试验， 其中 如果他想考一百分，他必须100道题全对才可以，所以,例2 在规划一条河流的洪水控制系统