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1、2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差,第2章 2.5 随机变量的均值和方差,学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：,思考1,试求E(X)，E(Y).,答案,思考2,能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？,答案,答
2、案 不能，因为E(X)E(Y).,思考3,试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？,答案,答案 方差.,方差：V(X)2 ，其中，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.,(1)离散型随机变量的方差和标准差 设离散型随机变量X的均值为，其概率分布表如下：,梳理,(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn,标准差： . 意义：方差刻画了随机变量X与其均值的 程度. (2)方差的性质：V(aXb) .,平均偏离,a2V(X),知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差,1.两点分布：若X01分布，则V(X) . 2.超几何分布：若XH(n，M，N)，则V(X) . 3.二项分布：若XB(n
3、，p)，则V(X) .,p(1p),np(1p),题型探究,例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差.,解答,类型一 求随机变量的方差,解 X的可能取值为1,2,3,4,5.,X的概率分布为,求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的概率分布. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求V(X).,反思与感悟,跟踪训练1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解
4、出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92， (1)求该题被乙独立解出的概率；,解 记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2， 则P(A)P10.6，P(B)P2， P1P2P1P20.92， 0.6P20.6P20.92， 则0.4P20.32，即P20.8.,解答,(2)求解出该题的人数X的均值和方差.,解答,0.60.20.40.80.44. X的概率分布为,E(X)00.0810.4420.48 0.440.961.4， V(X)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.48 0.156 80.070 40.172 80.4
5、.,例2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；,解 用表示抽得的正品数，则0,1. 服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98， 所以V()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.,类型二 两点分布与二项分布的方差,解答,(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.,解 用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)， 所以V(X)100.980.020.196，,解答,解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1p)；若其服从二项分布，
6、则其方差为np(1p)(其中p为成功概率).,反思与感悟,跟踪训练2 (1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，V(X)20，则p_.,答案,解析,答案,解析,10,当堂训练,1.已知随机变量X的概率分布为,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则V()_.,答案,2,3,4,5,1,解析,3.已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)0，V(X)1，则a_，b_.,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,4.已知随机变量XB(100,0.2)，那么V(4X3)的值为_
7、.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由XB(100,0.2)知，n100，p0.2， 由公式得V(X)np(1p)1000.20.816， 因此V(4X3)42V(X)1616256.,256,5.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和V().,解答,2,3,4,5,1,解 的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，,2,3,4,5,1,1表示三位同学只有1位同学坐对了，,3表示三位学生全坐对了，即对号入座，,所以的概率分布为,2,3,4,5,1,规律与方法,1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差V(X)或标准差 越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差 越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散.,2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值； (2)求X取每一个值的概率； (3)写出随机变量X的概率分布； (4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X). 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X).,本课结束,
