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1、高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 导数公式与导数运算法则的简单应用1应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法2利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)yx；(2)yx4；(3)ysin x3x；(4)ycos xln x；(5)y(x1)(x2)(x3)；(6)y.思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必
2、要时应对函数解析式进行恒等变形解：(1)y(x)()；(2)y4x3；(3)y(sin x3x)cos x3xln 3；(4)y(cos xln x)sin xln xcos xsin xln x；(5)方法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11.方法2：由于(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，所以y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(6)方法1：y；方法2：由于y1，于是y.探究二 利用
3、导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误2若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导【典型例题2】 求下列函数的导数：(1)y；(2)y44；(3)y；(4)yxln.思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导解：(1)yx2x3x4，y4x33x22x.(2)y22
4、sin2cos21sin21cos x，ysin x.(3)ycos xsin x，y(cos xsin x)sin xcos x.(4)yxlnxln x，y(x)ln xx(ln x)ln x.探究三 复合函数的求导1复合函数的求导法则如下：复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux(其中yx表示y对x的导数)即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积2复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数(3)根据
5、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写【典型例题3】 求下列函数的导数：(1)y(3x1)2；(2)yln(5x2)；(3)y2x1；(4)ysin；(5)ycos2x.思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则解：(1)设yu2，u3x1.则yyuux2u36(3x1)18x6；(2)设yln u，u5x2，则yyuux5；(3)设yu，u2x1.则yyuuxuln22xln 2；(4)设ysin u，u2x，则yyuuxcos u22cos；(5)ycos2x，设ycos u，u2x，则yyuuxsin u2sin 2x.探究四 导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法【典型例题4】 用导数的方法求和：12x3x24x32 014x2 013(x0，x1)思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解解：设f(x)12x3x22 014x2 013，g(x)xx2x3x2 014，则f(x)g(x)而由等式数列求和公式可得g(x)，于是f(x)，即12x3x22 014x2 013.
