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1、第7讲 机械能守恒定律 功能关系,【主干回顾】,【核心速填】 (1)机械能守恒定律的表达式。 守恒的观点:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 转化的观点:_。 转移的观点:_。,Ek=-Ep,EA增=EB减,(2)常见的功能关系。 合外力做功与动能的关系:W合=Ek。 重力做功与重力势能的关系:_。 弹力做功与弹性势能的关系:_。 除重力以外其他力做功与机械能的关系:W其他= E机。,WG=-Ep,W弹=-Ep,滑动摩擦力做功与内能的关系:_。 电场力做功与电势能的关系:_。 克服安培力做功与电能的关系:_。,Ffl相对=E内,W电=-Ep,W克安=E电,热点考向1 机械能守恒定律的应用 【典例
2、1】(多选)(2015全国卷)如图, 滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆 上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上, a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开 始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g,则 ( ),A.a落地前,轻杆对b一直做正功 B.a落地时速度大小为 C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小 为mg,【思考】 (1)滑块a落地前,滑块b的速度如何变化? 提示:滑块b的初速度为零,滑块a落地时,滑块b的速度为零,而滑块a下落过程中滑块b的速度不为零,故滑块b的速度先增大后减小。,(2)滑块a下落过程中,滑
3、块a、b组成的系统机械能是否守恒? 提示:滑块a、b组成的系统只有重力和系统内弹力做功,系统机械能守恒。,(3)当滑块a的机械能最小时,滑块b的速度和加速度如何? 提示:当滑块a的机械能最小时,滑块b的机械能最大,即滑块b的速度最大,加速度为零。,【解析】选B、D。选b滑块为研究对象,b滑块的初速度 为零,当a滑块落地时,a滑块没有在水平方向上的分速 度,所以b滑块的末速度也为零,由此可得b滑块速度是 先增大再减小,当b滑块速度减小时,轻杆对b一直做负 功,A项错误;当a滑块落地时,b滑块的速度为零,由机械 能守恒定律,可得a落地时速度大小为 B项正确; 当b滑块速度减小时,轻杆对a、b都表现
4、为拉力,拉力在,竖直方向上有分力与a的重力合成,其加速度大小大于g,C项错误;a的机械能先减小再增大,当a的机械能最小时,轻杆对a、b的作用力均为零,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。,【迁移训练】,迁移1:轻杆绕固定转轴转动 (多选)如图所示,长为3L的轻杆可绕 水平轴O自由转动,Oa=2Ob,杆的上端 固定一质量为m的小球(可视为质点), 质量为M的正方体静止在水平面上,不 计一切摩擦力。开始时,竖直轻细杆右侧紧靠着正方体 物块,由于轻微的扰动,杆逆时针转动,带动物块向右运,动,当杆转过60时杆与物块恰好分离。重力加速度为g。当杆与物块分离时,下列说法正确的是( ) A.小球的速度
5、大小为 B.小球的速度大小为 C.物块的速度大小为 D.物块的速度大小为,【解析】选B、D。设小球、b端、物块的速度分别为 va、vb、vM,对系统由系统的机械能守恒得mg2L(1- cos60)= a球与b端的角速度相等,由 v=r得va=2vb,b端的线速度沿水平方向的分速度等于 物块的速度,即有vbcos60=vM,解得vb=2vM,所以va= 4vM,联立以上各式解得 故选项B、D正确。,迁移2:物体通过轻绳连接跨过定滑轮 (多选)如图所示,质量均为m的两个物体 A和B,其中物体A置于光滑水平台上,物 体B穿在光滑竖直杆上,杆与平台有一定 的距离,A、B两物体通过不可伸长的细轻绳连接跨
6、过台 面边缘的光滑小定滑轮,细线保持与台面平行。现由静 止释放两物体,当物体B下落h时,B物体的速度为2v,A物 体速度为v。关于此过程,下列说法正确的是 ( ),A.该过程中B物体的机械能损失了 mgh B.该过程中绳对物体A做功为 mv2 C.物体A在水平面上滑动的距离为h D.该过程中绳对系统做功 mv2,【解析】选A、B。在图中的虚线对 应的位置,将物体B的速度沿着平行 绳子和垂直绳子方向正交分解,如图 所示:物体A、B沿着绳子的分速度相等,故sin= 解得=30,该过程中A、B系统机械能守恒, 则mgh= m(2v)2+ mv2,物体B的机械能减小量为 EB=mgh- m(2v)2,
7、解得EB= mgh,故选项A正确;,根据动能定理,该过程中绳对物体A做功为WT= mv2-0 = mv2,故选项B正确;结合几何关系,物体A滑动的距 离x= =(2- )h,故C错误;由于绳子不 可伸长,故不能储存弹性势能,绳子对两个物体做功的 代数和等于弹性势能的变化量,该过程中绳对系统做功 为零,故选项D错误。,迁移3:小球通过轻杆连接绕光滑圆环转动 (多选)如图所示,半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内,C是圆环最低点。两个质量均为m的小球A、B套在圆环上,用长为R的轻杆相连,轻杆从竖直位置静止释放,重力加速度为g,则 ( ),A.当轻杆水平时,A、B两球的总动能最大 B.A球或B球在运动
8、过程中机械能守恒 C.A、B两球组成的系统机械能守恒 D.B球到达C点时的速度大小为,【解析】选A、C。A、B组成的系统只有重力和系统内 弹力做功,系统机械能守恒,在杆从竖直状态到水平状 态的过程中,系统重力势能减少最大,A、B两球的总动 能最大,故A、C正确;A球或B球从开始时的位置运动的 过程中,除重力对其做功外,杆的作用力对它们都做 功,A球或B球的机械能不守恒,故选项B错误;因为A与B 一起沿圆周运动,它们的相对位置保持不变,所以A与B,具有相等的线速度;由于杆的长度也是R,所以当B运动 到C点时,A球恰好运动到B点。如图所示,A球下降的高 度是R,B球下降的高度h=Rcos60=0.
9、5R,根据机械能 守恒得mgR+0.5mgR= 2mv2,解得v= 故选项D 错误。,【规律总结】应用机械能守恒定律解题的步骤 (1)选对象:单个物体、多个物体组成的系统或含弹簧系统。 (2)两分析:对研究对象进行受力和做功情况的分析。 (3)判守恒:根据机械能守恒的条件判断研究对象机械能是否守恒。 (4)选公式:灵活选取Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、Ek=-Ep或EA增=EB减列方程求解。,【加固训练】 1.(2015天津高考)如图所示,固定的竖直 光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水 平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端 连接在墙上,且处于原长状态,现让圆环由静 止开始下滑,已知弹
10、簧原长为L,圆环下滑到最大距离时 弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到 最大距离的过程中 ( ),A.圆环的机械能守恒 B.弹簧弹性势能变化了 mgL C.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零 D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变,【解析】选B。圆环下滑过程中,圆环动能、重力势能 与弹簧弹性势能之和保持不变,故选项A、D错误;圆环 从最高点(动能为零)到最低点(动能为零),重力势能减 少了 根据机械能守恒,弹簧弹性 势能增加了 mgL,故选项B正确;圆环由静止开始下滑 到最大距离过程中,先加速后减速,下滑到最大距离时, 所受合力不为零,故选项C错误。,2.(多选)如图所示,
11、在倾角为30的光滑固定斜面上,放有两个质量分别为1kg和2 kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长L=0.2m的轻杆相连,小球B距水平面的高度h=0.1m。斜面底端与水平面之间由一光滑短圆弧相连,两球从静止开始下滑到光滑水平面上,g取10m/s2。则下列说法中正确的是 ( ),A.下滑的整个过程中A球机械能守恒 B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D.系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为,【解析】选B、D。A、B下滑的整个过程中,杆的弹力对 A球做负功,A球机械能减少,选项A错误;A、B两球组成 的系统只有重力和系统内弹
12、力做功,机械能守恒,选项B 正确;对A、B两球组成的系统由机械能守恒定律得 mAg(h+Lsin30)+mBgh= (mA+mB)v2,解得v= m/s, 选项C错误;B球机械能的增加量为Ep= mBv2-mBgh= 选项D正确。,热点考向2 功能关系的应用 【典例2】(2015全国卷)如图,一 半径为R,粗糙程度处处相同的半圆形 轨道竖直固定放置,直径POQ水平。一 质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落,恰 好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时,对轨道的 压力为4mg,g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点 运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则 ( ),A.W= mgR,
13、质点恰好可以到达Q点 B.W mgR,质点不能到达Q点 C.W= mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离 D.W mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离,【解析】选C。在N点由牛顿第二定律得4mg-mg=m ; 从最高点到N点,由动能定理得2mgR-W= ,联立解 得W= mgR。由于克服阻力做功,机械能减小,所以质点 从N点到Q点克服阻力做的功要小于从P点到N点克服阻 力做的功,即质点从N点到Q点克服阻力做的功WW= mgR,质点从N点到Q点由动能定理得-mgR-W=,解得 0,所以质点能够到达Q点, 并且还能继续上升一段距离,故选项C正确。,真题变式1.(多选)在【典例2】中,若使质点
14、带上+q的 电荷量(带电质点可视为点电荷),如图所示,在POQ下方 加上垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B= 质点由静止释放运动至最低点N时,对轨道的压力恰好 为零,则 ( ),A.质点经过N点时的速度大小为 B.质点由P点至N点的过程中洛伦兹力做负功 C.质点由静止下落至P点的过程机械能守恒 D.质点由静止下落至N点的过程机械能减少,【解析】选C、D。质点经过N点时由牛顿第二定律得 qvB-mg= 解得v= 选项A错误;质点在磁场运 动过程中,洛伦兹力始终与质点的运动方向垂直,洛伦 兹力不做功,选项B错误;质点由静止下落至P点的过程, 只有重力做功,质点机械能守恒,选项C正确;质点由静 止
15、运动至N点的过程由动能定理得2mgR-Wf= mv2,解得,Wf= mgR,由功能关系得质点的机械能减少 mgR, 选项D正确。,真题变式2.在【典例2】中,若轨道光滑,使质点带上+q的电荷量(带电质点可视为点电荷),如图所示,在竖直方向加上向下的匀强电场,场强为E,质点由静止释放运动至最低点N的过程中,下列说法正确的是 ( ),A.质点的机械能守恒 B.质点的重力势能减少,电势能增加 C.质点的动能增加2mgR D.质点的机械能增加2qER,【解析】选D。质点下落过程,除重力做功以外,还有电场力做正功,机械能增加,由功能关系得机械能的增量E=2qER,故选项A错误,D正确;重力做正功,重力势
16、能减少,电场力做正功,电势能减少,选项B错误;合外力做功等于动能的增量,则Ek=2(qE+mg)R,选项C错误。,真题变式3.(多选)在【典例2】中,若将半圆形轨道更 换为 圆弧轨道,如图所示,并将质点自P点上方高度 2R处由静止开始下落,质点沿轨道到达最高点Q时对轨 道压力为 则质点从静止运动到Q点的过程中( ),A.重力势能减少2mgR B.合外力做功 mgR C.克服摩擦力做功 mgR D.机械能减少 mgR,【解析】选B、C。质点能通过Q点,则在Q点由牛顿第二 定律得 解得v= 从静止运动到Q 点的过程,重力做功等于重力势能减小量,为mgR,选项A 错误;合外力做功等于动能增加量,即W合=Ek= mv2 = mgR,选项B正确;机
