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1、第二讲 数列求和及综合应用,【知识回顾】 1.常用的拆项公式(其中nN*),2.常见的求和方法 (1)公式法求和:适合求等差数列或等比数列的前n项和.对等比数列利用公式法求和时,一定注意公比q是否取1. (2)错位相减法 主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.,(3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计 算和的方法,适用于求通项为 的数列的前n项和.,(4)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.,【易错提醒】 1.裂项求和的系数出错:裂项时,
2、把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 2.求通项公式忽略验证第一项致误:利用 an= 忽略n2的限定,忘记第一项单独求解与检验.,3.求项数致误:错位相减法求和时,易漏掉减数式的最后一项.,【考题回访】 1.(2016浙江高考)如图,点列An,Bn分别在某锐 角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*, |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*(PQ表示点P与Q不 重合).若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则 ( ),A.Sn是等差数列 B. 是等差数列 C.dn是等差数列 D. 是等差数列,【解析】选A.先求出三角形的面
3、积,再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列. 作A1C1,A2C2,A3C3,AnCn,垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,Cn,则A1C1A2C2AnCn,因为|AnAn+1|=|An+1An+2|, 所以|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|, 设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c, 则|A3C3|=2b-a,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n3),所以Sn= c(n-1)b-(n-2)a= c(b-a)n+(2a-b), 所以Sn+1-Sn= c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b) = c(b-a),又S1= ac,S
4、2= bc,S3= c(2b-a),S2-S1= c(b-a),S3-S2= c(b-a),所以数列Sn是等差数列.,2.(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=_,S5=_.,【解析】由题意得,a1+a2=4,a2=2a1+1, 解得a1=1,a2=3, 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2), 所以an+1-an=2an,an+1=3an, 又a2=3a1,所以an+1=3an(n1), S5= =121. 答案:1 121,热点考向一 求数列的通项公式 命题解读:主要考查等差数列与等比数列的定义、有关性质以及逻辑推
5、理和各种变形能力,一直是高考的重点和热点.以选择题、填空题、解答题为主.,【典例1】(1)(2016武汉一模)已知数列an中,a1=3, 满足 ,则数列an的通项公式为_. (2)(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an 满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. 求a2,a3. 求an的通项公式.,【解题导引】(1)将 变形,构造等差数列求解. (2)将a1=1代入递推关系式求得a2,将a2的值代入递推关系式可求得a3;将已知的递推关系式进行因式分解,由题设条件可判断数列an为等比数列,由此可求得数列an的通项公式.,【规范解答】(1)由 ,得 =2, 所以数列 是首项为
6、 ,公差为2的等差数列. 所以 = +(n-1)2=2n- , 所以an= . 答案:an=,(2)由题意可得a2= ,a3= . 由 -(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为an的各项都为正数,所以 故an是首项为1,公比为 的等比数列,因此an=,【母题变式】 1.本例(1)改为:若数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n1),求a6的值.,【解析】因为an+1=3Sn,所以an=3Sn-1(n2), 两式相减得,an+1-an=3an,即 =4(n2), 所以数列a2,a3,a4,构成以a2=3S1=3a1=3为首项,
7、以4为公比的等比数列,所以a6=a244=344=768.,2.本例(1)改为:已知数列an中,a1=1,an=2an-1+1 (n2),求数列an的通项公式. 【解析】由an=2an-1+1(n2)得an+1=2(an-1+1),即 =2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1.,【规律方法】求通项的常用方法 (1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法. (2)已知Sn与an的关系,利用an= 求an.,(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,
8、常用累加法(叠加法). (4)累乘法:数列递推关系形如an+1=g(n)an,其中数列g(n)前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).,(5)构造法:递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数) 可化为an+1+ (p1)的形式,利用 是以p为公比的等比数列求解. 递推关系形如an+1= (p为非零常数)可化为 的形式.,【题组过关】 1.(2016合肥一模)已知正项数列an满足a1=1, (n+2) -(n+1) +anan+1=0,则它的通项an=( ),【解析】选B.由(n+2) -(n+1) +anan+1=0, 可得(n+2) =n+1,又因为an0,所以 又a1
9、=1,则an= a1,2.(2016银川一模)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(nN*). (1)证明:数列an是等比数列. (2)若数列bn满足bn+1=an+bn(nN*),且b1=2,求数列bn的通项公式.,【解析】(1)依题意Sn=4an-3(nN*), 当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1. 因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n2), 所以当n2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理得an= an-1. 又a1=1,所以an是首项为1,公比为 的等比数列.,(2)由(1)知an= 由bn+1=an+bn(nN*),得bn+1-bn=
10、 可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1),=2+ =3 -1(n2). 当n=1时也满足, 所以数列bn的通项公式为bn=3 -1(nN*).,【加固训练】 1.(2016三亚二模)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=a2=1,若nSn+(n+2)an为等差数列,则an= ( ),【解析】选A.设bn=nSn+(n+2)an,则数列bn为等差数 列.由b1=4,b2=8,可得bn=4n,则bn=nSn+(n+2)an=4n, 即Sn+ an=4.当n2时,Sn-Sn-1+ an- an-1 =0,所以 an= an-1,即2 ,所以数列 是以 为公比,1为首项的等
11、比数列,则 即an=,2.(2016三亚一模)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=_.,【解析】设等比数列an的公比为q(q0), 依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2. 又3S1,2S2,S3成等差数列, 所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2, 所以q=3(q=0舍去),所以an=a1qn-1=3n-1. 答案:3n-1,3.(2016成都一模)已知数列an满足: =n2(n1,nN*). (1)求a1,a2及a2 016. (2)求数列an的通项公式.,【解析
12、】(1)由 =n2(n1,nN*), 得a1=1,a2= , =2 0152, =2 0162, 由-,得 =2 0162-2 0152=4 031,所以a2 016=,(2)由 =n2(n1,nN*), 得 =(n-1)2(n2,nN*), 两式相减得 =n2-(n-1)2=2n-1(n2,nN*), 所以an= (n2,nN*). 当n=1时,a1=1也满足上式,所以an= (nN*).,热点考向二 求数列的前n项和 命题解读:试题一般设置两个问题,其中第一问考查等差、等比数列的基本运算,属于保分题;第二问的区分度较大,一般与数列的求和有关,方法较灵活,主要是错位相减、裂项相消等方法.以解
13、答题的形式出现,属于中、高档题目.,命题角度一 裂项相消求和 【典例2】(2015全国卷)Sn为数列an的前n项 和.已知an0, +2an=4Sn+3. (1)求an的通项公式. (2)设bn= ,求数列bn的前n项和.,【解题导引】(1)由 +2an=4Sn+3及an+1=Sn+1-Sn确定an的通项公式. (2)由(1)及bn= 利用裂项法求和.,【规范解答】(1)由 +2an=4Sn+3, 可知 +2an+1=4Sn+1+3. 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an).,由于an0,可得an+1-an=2. 又
14、 +2a1=4a1+3, 解得a1=-1(舍去),a1=3. 所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为 an=2n+1.,(2)由an=2n+1可知bn= 设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn,命题角度二 错位相减求和 【典例3】(2016山东高考)已知数列an的前n项 和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式. (2)令cn= 求数列cn的前n项和Tn.,【解题导引】解答本题第(2)问,可拆解成两个小题:若cn= 求的前n项和为Tn,求Tn.,【解析】(1)由题意知,当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当n
15、=1时,a1=S1=11=6n+5. 所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d,则a1=2b1+d=11,a2=b2+b2+d=2b1+3d=17. 解得b1=4,d=3,所以bn=4+(n-1)3=3n+1.,(2)由(1)知,cn= =3(n+1)2n+1. 所以Tn=c1+c2+cn,两式相减:-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2 =-3n2n+2. 所以Tn=3n2n+2.,【规律方法】 1.分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.,2.裂项相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差. (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.,3.错位相减法的关注点 (1)适用题型:等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和. (2)步骤: 求和时先乘以数列bn的公比; 把两个和的
