《高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题三三角函数及解三角形1_3_2三角恒等变换与解三角形课件理新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题三三角函数及解三角形1_3_2三角恒等变换与解三角形课件理新人教版（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 三角恒等变换与解三角形,【知识回顾】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()=_. (2)cos()=_. (3)tan()=_.,sincoscossin,coscossinsin,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2=_. (2)cos2=_=_=_. (3)tan2=_.,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,3.辅助角公式 asinx+bcosx= sin(x+),其中tan= . 4.正弦定理及其变形 在ABC中, = = =2R(R为ABC的外接圆半径).,变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
2、 sinA= , sinB= ,sinC= , abc=sinAsinBsinC.,5.余弦定理及其变形 在ABC中,a2=_; 变形:b2+c2-a2=_,cosA=_. 6.三角形面积公式 SABC= absinC= bcsinA= acsinB.,b2+c2-2bccosA,2bccosA,【易错提醒】 1.忽视解的多种情况:如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=,求C,再由正弦定理或余弦定理求边c,但解可能有多种情况. 2.忽略角的范围:应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时,要注意角的范围.,3.忽视解的实际意义:求解实际问题,要注意解得的结果要与实际相吻合.,
3、【考题回访】 1.(2016全国卷)若tan= ,则cos2+2sin2 = ( ) 【解析】选A.cos2+2sin2=,2.(2016全国卷)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则cosA= ( ),【解析】选C.设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则由题意得SABC= 所以c= a. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+ a2-2a a = a2.所以b= a. 所以cosA=,3.(2015全国卷)sin20cos10-cos160sin10 = ( ) 【解析】选D.原式=sin20cos10+cos20sin10 =sin30= .,4.(20
4、16全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若cosA= ,cosC= ,a=1,则b=_. 【解析】因为cosA= ,cosC= , 所以sinA= ,sinC= ,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= , 由正弦定理得 ,解得 答案:,5.(2014全国卷)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为_.,【解析】由a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 即(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 由正弦定理得(
5、a+b)(a-b)=(c-b)c, 所以b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理得cosA=,所以A=60,所以b2+c2-4=bc, 即b2+c2-bc=4,则bc4, 所以SABC= bcsinA 4 = . 答案:,热点考向一 三角变换及求值 命题解读:重点考查利用三角恒等变换解决化简求值、求角问题.以选择题、填空题为主,有时解答题也有出现.,【典例1】(1)(2016全国卷)若 ,则sin2= ( ),(2)(2016洛阳二模)若 ,且- 0, 则 = ( ),(3)(2016厦门一模)如图,圆O与x轴的正半轴的交点 为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标 为 ,AOC=
6、.若|BC|=1,则 cos2 -sin cos - 的值为_.,【解题导引】(1)利用诱导公式变换角,建立已知角和未知角的联系,利用三角恒等变换公式求值. (2)利用两角和的正切公式,求出tan的值,将所求式子进行化简求值. (3)利用三角函数的定义及三角变换公式求解.,【规范解答】 (1)选D.因为 sin2= (2)选A.由 又- 0,所以sin=- . 故,(3)由题意得|OB|=|BC|=1,从而OBC为等边三角形, 所以sinAOB= 又因为 答案:,【规律方法】 1.化简求值的方法与思路 (1)方法:采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类,做到三角函数名称的统一; 通过三角恒等
7、变换,化繁为简,便于化简求值; (2)基本思路:找差异,化同名(同角),化简求值.,2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.,(3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.,【题组过关】 1.(2016海口二模)已知 则 sin 的值是 ( ),【解析】选D.,2.(2016武汉一模)若tan=2tan ,则 = ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.,3.(2016长春一模)若cos
8、(2-)=- , sin(-2)= ,0 ,则+的 值为_.,【解析】因为cos(2-)=- 且 2-, 所以sin(2-)= . 因为sin(-2)= 且- -2 , 所以cos(-2)= .,所以cos(+)=cos(2-)-(-2) =cos(2-)cos(-2)+sin(2-)sin(-2) =- + = . 因为 + ,所以+= . 答案:,【加固训练】 1.(2016成都一模) = ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】选D.,2.(2016德州一模)已知 , 则cos等于 ( ),【解析】选A.因为 ,所以+ 因为 所以 所以,热点考向二 正弦定理与余弦定理 命题解
9、读:主要考查利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角与面积等基础问题,或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形,或利用正、余弦定理解决实际问题,三种题型都有可能出现.,命题角度一 利用正、余弦定理进行边、角、面积的 计算 【典例2】(2016昆明一模)在锐角ABC中,a,b,c是 角A,B,C的对边,且 a=2csinA. (1)求角C的大小. (2)若c= ,且ABC的面积为 ,求a+b的值.,【题目拆解】解答本例第(2)问,可拆解成两个小题: 求ab的值; 求a+b的值.,【规范解答】(1)由正弦定理得: sinA=2sinCsinA, 因为A,C是锐角,所以sinC= ,所以C=60.
10、(2)由已知得,ABC的面积S= absinC= ,所以ab=6. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab, 所以(a+b)2=25,所以a+b=5.,【母题变式】 1.在本例条件下,求sinA+sinB的取值范围. 【解析】由本例可知C=60,所以A+B=120, 所以sinA+sinB=sinA+sin(120-A) =sinA+ cosA+ sinA= sinA+ cosA,又ABC为锐角三角形,所以0A90, 即A+30 ,所以 sin(A+30) 故sinA+sinB的取值范围为,2.在本例条件下,若c= ,求ABC面积的最大值. 【解析】由余弦定理得c2
11、=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab, 即7=a2+b2-ab2ab-ab,所以ab7, 所以SABC= absinC 7sin60= . 故ABC面积的最大值为 .,命题角度二 应用正、余弦定理解决实际问题 【典例3】(1)(2016成都一模)某气象仪器研究所按 以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹 射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面 ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个,观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该
12、仪器的垂直弹射高度CH为 ( ),A.210( + )米 B.140 米 C.210 米 D.20( - )米,(2)(2016哈尔滨二模)如图,从气 球A上测得正前方的河流的两岸B, C的俯角分别为67,30,此时气 球的高是46m,则河流的宽度BC约等于_m.(用 四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67 0.92,cos670.39,sin370.60,cos37 0.80, 1.73),【解题导引】(1)利用余弦定理求AC,再利用正弦定理求仪器的垂直弹射高度CH. (2)结合图形构造适当的三角形,利用正弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.由题意,设|AC|=x, 则|BC|=
13、x-40, 在ABC内,由余弦定理:|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|CA|cosBAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x, 解得x=420. 在ACH中,|AC|=420,CAH=30+15=45,CHA=90-30=60, 由正弦定理: 可得|CH|=|AC| 米.,(2)根据图中给出的数据构造适当的三角形求解. 根据已知的图形可得AB= . 在ABC中,BCA=30,BAC=37, 由正弦定理,得 所以BC2 0.60=60(m). 答案:60,【规律方法】 1.正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (
14、2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.,2.解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.,(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,【题组过关】 1.(2016遵义二模)在ABC中,A= ,AB=6,AC= 3 ,点D在BC边上,AD=BD,则AD的长为 ( ),【解析】选B.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是 a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-2 3 6cos =18+36-(-36)=90, 所以a=3 . 又由正弦定理得sinB=,由题设知0B , 所以cosB= 在ABD中,由正弦定理得,2.(2016商丘二模)如图,在ABC中,已知点D在BC边 上,满足 =0.sinBAC= ,AB=3 ,BD= . (1)求AD的长. (2)求cosC.,【解析】(1)因为 =0,所以ADAC, 所以sinBAC=sin =cosB
