《数学专业论文—线性方程组求解及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学专业论文—线性方程组求解及其应用（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、嘉兴学院南湖学院（2011届） 本科毕业论文（设计）题目： 线性方程组的求解及其应用 专业： 数学与应用数学 班级 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 2011.5.5 诚 信 声 明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信论文(设计)作者签名： 签名日期： 年 月 日授 权 声 明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校
2、可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置论文(设计)作者签名： 签名日期： 年 月 日线性方程组的求解及其应用*（*学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；
3、LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and Its Application*（* University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linear algebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic s
4、tructure solution of linear equations, and use Cramers rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines its in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of equatio
5、ns and its application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient. Key words：Linear equations; Cramers rule; Gauss-elimination; LU-decomposition; Application目 录1 引言12 线性方程组求解22.1 概念22.2 解的情况及其通解32.3 克拉默法则52.4 高斯消元法72.5 追赶法92.5.1 LU分解92.5.2 追赶法103 线性方程组的应用133.1 在解析几何中的应用133.2
6、 在高等代数中的应用133.3 在运筹学中的应用143.4 在化学中的应用153.5 在经济学中的应用163.6 在控制科学中的应用184 结束语21致谢22参考文献23嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初九章算术方程章中线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义因此对线性方程
7、组解法的研究就显得十分必要本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用232 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等对于前一类特殊的线性方程
8、组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法2.1 概念线性方程组的一般形式如下：(2.1)其中是n个未知量，是m个一次方程的系数，称为方程组的常数项我们总是假设系数和常数项在某个领域K中取值如果所有的常数项都等于0，即(2.2)则方程组(2.2)称为齐次线性方程组否则称为非齐次线性方程组线性方程组(2.1)的解是数域K的一个有序数组，当未知量分别用代入时，(2.1)中的每个方程都成立 我们将方程组(2.1)记为矩阵形式其中我们称为此线性方程组的系数矩
9、阵，如果再把常数项也添加进去，使它成为矩阵的最后一列：称它为此线性方程组的增广矩阵，记为2.2 解的情况及其通解一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况它可能无解，可能只存在唯一解或者可能有无穷多组解本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式对于一般情况下的线性方程组(2.1)，将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵记(2.3)其中比少了最后一列，为R的主元所在列的个数，即全不等于零若(即)，则原方程组(2.1)无解若(即)，且，则原方程组(2.1)有唯一解若(即)，且，则原方程组(2.1)有无穷多组解这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有个，主变量有个如果对于一
10、般情况下的齐次线性方程组(2.2)，它显然有一组零解我们将方程组(2.2)的系数矩阵化为行阶梯矩阵(比(2.3)少最后一列)若，则齐次线性方程组(2.2)只有零解若，则齐次线性方程组(2.2)有无穷多个解若，则齐次线性方程组(2.2)必有非零解一般线性方程组的求解步骤大致为：1，写出它的增广矩阵；2，将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断方程组是否有解；3，如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4，写出原方程组的通解下面我们通过例子来说明线性方程组的通解的表示形式例2.2.1 求线性方程组的通解解：首先把增广矩阵化为行阶梯矩阵因为，所以方程组有解，且解有无穷多个所以其中为主变量，为自
11、由变量由于齐次线性方程组的增广矩阵最后一列元素全为零，在作初等变换时，所得矩阵的最后一列元素仍为零，所以只写出其系数矩阵求解即可2.3 克拉默法则对于其次线性方程组来说，它有一个零解：因此对于其次线性方程就是研究它何时有非零解及非零解的形式如何这一节，我们只考虑方程个数等于未知量个数，即当(2.1)中时的情况，即(2.4)并且系数矩阵的行列式不等于0如果线性方程组(2.4)中，系数矩阵的行列式不等于0，即，那么，此方程有唯一解：其中这就是克拉默(Cramer)法则如果对于齐次线性方程组它的系数矩阵的行列式不等于0，那么它只有零解下面我们通过具体的例子来应用克拉默法则求解线性方程组例2.3.1
12、解线性方程组解： 而 所以即原方程组的解为例2.3.2 取何值时，下述方程组有非零解：解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式所以因此，当时，所给齐次方程组有非零解2.4 高斯消元法高斯(Gauss)消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作九章算术中九章算术第八章“方程”主要研究线性方程组的解法其基本思想是消元在解方程组时，将方程组的系数(包括常数)分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元此方法在西方被称为“高斯消元法”高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵，然
13、后，再逐一回代，解出方程组本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决形如(2.1)，并且存在唯一解的线性方程组下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程例2.4.1 解线性方程组(2.5)解：首先，我们将(2.5)中第二个方程减去第一个方程的倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组 (2.6)其中(2.5)中的第二，第三个方程中的已经消去了类似的，我们将(2.6)中的第三个方程减去第二个方程的倍，又可以消去第三个方程中的变量，最后得到与(2.5)等价的方程组(2.7)这个方程很容易求解由第三个方程解出，将其带入第二个方程解出再将代入第一个方程解出其中，将原方程组(2.5)化成方程组(2.7)的过程叫做消元过程，求解方程组(2.7)的过程称为回代过程下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程线性方程组(2.5)可以写成矩阵的形式其增广矩阵为把增广矩阵变成阶梯形矩阵后，再写出它代表的方程组用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解2.5 追赶法求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组而如何将系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要用到LU分解法，也称三角形分解法LU分解法的优点是当方程组左端系数矩
