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1、第五章 四边形 课时24 矩形、菱形、正方形,第一部分 考点研究,考点精讲,矩形、菱形、正方形,矩形 菱形 正方形 温馨提示：四边形之间的转化关系,名师PPT,矩形、菱形、正方形,矩形,性质 判定 周长：c=2(a+b)，面积：S .（a，b表示长和宽）,ab,1.边：对边平行且相等 2.角：四个角都是直角：ABC=BCD=ADC=BAD=90 3.对角线：对角线_：ACBD，OA=OB=OC=OD 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴,ABCD,AD .,性质,AD=BC,AB=CD,BC,互相平分且相等,判定,1.有一个角是 的平行四边形是矩形 2.有三个角都是 的四边
2、形是矩形 3.对角线相等的平行四边形是矩形,直角,直角,菱形,性质 判定 周长：c=4a，面积：S_(a表示菱形边长，m,n分别表示两条对角线的长),四条边 ：AB=BC=CD=DA 对边平行：ABCD,ADBC,性质,1.边： 2.角：对角相等：DABDCB，ADCABC 3.对角线 4.对称性：,相等,既是中心对称图形，又是轴对称图形，对角线所在直线就是对称轴,对角线,菱形的对角线互相垂直且_ 对角线平分一组对角,AO=OC,DO=OB,ACBD,平分,AC平分DAB与BCD BC平分ABC与ADC,判定,2. 3.,平行四边形ABCD _,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD AB=BC
3、=CD=AD,四边形ABCD是菱形,ACBD,1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形,四条边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,正方形,性质 判定 周长：c=4a，面积：S (a表示正方形边长),性质,1.边： 2.角： 3.对角线 4.对称性：,相等,既是中心对称图形，又是轴对对称图形，有4条对称轴,四条边都_：AB=BC=CD=AD 对边平行：ABCD,ADBC,四个角都是直角：ABC=ADC=BCD=BAD=90,对角线,对角线互相 _且相等 对角线平分一组对角,ACBD AC平分BD,BD平分AC AC=BD,垂直平分,DAC=CAB=45, DCA=ACB=45 AD
4、B=BDC=45, ABD=DBC=45,判定,1.有一个角是 _的菱形是正方形 2.有一组 _相等的矩形是正方形 3.对角线相等的 _是正方形： 4.对角线互相 _的矩形是正方形：,直角,邻边,菱形,垂直,矩形ABCD ACBD,菱形ABCD AC=BD,四边形ABCD是正方形,四边形ABCD是正方形,温馨提示：四边形之间的转化关系：,重难点突破,矩形性质的相关计算,例1 如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3，过点A、C作相距为2的平行线段AE、CF,分别交CD、AB于点E、F，则DE的长是 ( ) A. 5 B. 136 C. 1 D. 56,例1题图,D,一,【思维教练】要求DE的长
5、，则需求出AE的长，由线段AE、CF的距离为2,想到构造直角三角形，证明构造的直角三角形与ADE全等，于是得到AE=EC，列方程即可得到结论.,【解析】如解图，过点E作EQCF于点Q，则EQ2.设DEx，则CEDCDE3x，AECF，CQE90，AEQ90，AEDQEC90，AEDDAE90，DAEQEC， 在ADE和EQC中， ADEEQC(ASA)，AECE3x，根据勾股定理得AD2DE2AE2，即22x2(3x)2，解得x .故选D.,练习1 （2016张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上E处，EQ与BC相交于F，若AD=8 cm,AB=6 cm,AE=
6、4 cm，则EBF的周长是 cm.,练习1题图,8,【解析】将矩形ABCD沿GH翻折，点D落在AB上的E处，EHHD.在RtAEH中，设AHx，则EH8x，由勾股定理得42x2(8x)2，解得x3，则EH5，AEH的周长为34512 cm.HEQD90，AEHBEF90，AHEAEH90，AHEBEF，又AB90，AEHBFE，相似比为 .根据相似三角形周长比等于相似比可知，BEF的周长为 128 cm.,菱形性质的相关计算常见的有以下两种设问方式： 1.求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转化要求的角，找到与已知的角存在的关系；
7、2.求长度（线段或周长）时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为60，则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质进行求解；若在菱形中存在直角三角形，则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行分解.,菱形性质的相关计算,二,例2 如图，ABC中，BCA=90，CD是边AB上的中线，分别过点C、D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE. （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若B=60，BC=6，求四边形ADCE的面积.,例2题图,（1）【思维教练】,证明：DEBC
8、，ECAB， 四边形DBCE是平行四边形， ECDB， 在RtABC中，CD为AB边上的中线， ADDBCD， ECAD， 四边形ADCE是平行四边形 EDBC， AODACB90， 平行四边形ADCE是菱形；,（2）【思维教练】要求菱形ADCE的面积，题中给出BC，即就是DE的长，而DE是菱形ADCE的一条对角线，所以我们考虑求出另一条对角线AC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得结果.,(2)解：RtABC中，CD为AB边上的中线，B60，BC6， ADDBCD6， AB12，由勾股定理得AC6， 四边形DBCE是平行四边形， DEBC6， ,练习2 如图，菱形ABCD的周长为8，
9、对角线相交于点O，BC边上的高AE长为 ，则 的值为 （ ） A. 12 B. 13 C. 1 D. 1,练习2题图,D,【解析】菱形ABCD的周长为8，ABBC2，AE ，BE1，CEBE1，ACAB2，OA1，ACBD，由勾股定理得OB ，BD2OB2 ，ACBD1 .,正方形性质的相关计算,练习3 如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE,过点E作EFDE.交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请说明理由.,练习3题图
10、,三,（1）证明：过点E作EMBC于M点，过E作ENCD于N点，如解图所示： 四边形ABCD为正方形， BCD90，ECN45， EMCENCBCD90， 且ENNC， 四边形EMCN为正方形， EMEN， 四边形DEFG是矩形，,DENNEFMEFNEF90， DENMEF， 又DNEFME90， 在DEN和FEM中， DNEFME, DENFEM,ENEM ， DENFEM(ASA)， EDEF， 矩形DEFG为正方形；,(2)解：CECG的值为定值理由如下： 矩形DEFG为正方形， DEDG，EDCCDG90， 四边形ABCD为正方形， ADDC，ADEEDC90，ADECDG，在ADE和CDG中， ADCD ,DEDG,ADECDG ， ADECDG(SAS)，AECG， ACAECEAB24， CECG4是定值,
