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1、第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）在点可微分是在该点连续的充 分条件；在点连续是在该点可微分的必 要条件。（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的必 要条件；在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充 分条件。（3）的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充 分条件。 （4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充 分条件。8.02求函数的定义域，并求。解：1)，定义域： 2)由初等函数的连续性知：8.03 证明极限不存在。证明：当点沿用趋于点时，有 ，显然它是随着的不同而改变的， 故：
2、极限不存在。8.04 设 求 及 解：1) 当时，2) 当时， ，故： ，故： 于是： 8.05求下列函数的一阶和二阶导数：（1）；解： ， （2）.解： 8.06 求函数当时的全增量和全微分。解：1) ， 2) 8.07设；证明：在点0处连续且偏导数存在，但不可微分.证明：1) ，于是： 即： ; 即： 在点连续 , 即：在处的偏导数存在，且 3) 假设在点处可微，则有： 又 书中18页已证明：不存在，故(*)式在时极限不存在， 即：不能表示为的高阶无穷小， 于是，在处不可微分。8.08设，而都是可微函数，求.解：8.09设具有连续偏导数，而；求。解： 8.10设，其中具有连续的二阶偏导数，
3、求. 解： 8.11设.试求和.解：将两边同时对,y求偏导数 将两边同时对,求偏导数 联立式得： 于是: 8.12求螺旋线在点处的切线法平面方程.解： 切线方程：，即： 法平面方程：，即：8.13 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方程.解：曲面在点处的法线向量为： 平面的法向量为： 当时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时, , , 于是,点即为所求, 此时,所求法线方程为: 8.13 设x 轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解：, 于是,函数在点沿方向的方向导数为: 当时,有最大值;时
4、,有最小值;或时,.8.15求函数在椭球面上点处沿外法线的方向导数.解: 椭球面上点处的法线向量为: , 其方向余弦为: , , 于是,函数在点处沿的方向导数为: (因在椭圆球面上)8.16求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.解：平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值 ,作函数： 令: 解得条件驻点,最小值。 于是点即为所求。8.17 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。解：设为椭球面上在第一象限内的点。 椭球面在处的法向量为： 切平面为： 即： 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，该四面体体积为： 又因点
5、在椭球面上 , 当且仅当时等号成立。 于是： （当时等号成立）。 于是：, 当时等号成立。 故当平面的切点为时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。第九章 重积分9.01计算下列二重积分：（1），其中D是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域；y=x+121Dxx01解：区域D: y=sinx01x(2) 其中D是闭区域：；D解： x2+y2=Rx0Rxy（3） ，其中D是圆周所围成的闭区域；D解： （4） ，其中D是闭区域： 解：区域D: 9.02 交换下列二次积分的顺序：2x-20Dyy=2x+44（1） 解： （2） 解：xy0231D y1D1（3
6、） D201x2解： 其中 0aDyxy=xa9.03 证明:证明: ，证 毕 。D10y=11yxy=x2D3D21-19.04 把积分表为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是，解：曲线的极坐标方程：曲线的极坐标方程：区域D在极坐标系下有：其中:xyzo9.05把积分化为三次积分，其中积分域是由曲面，及平面y=1,z=0所围成的闭区域解：区域在xOy面投影为Dxy它由抛物线与围成 9.06计算下列三重积分：（1）,其中是两个球：和（R0）的公共部分。解： （2）,其中是由球面所围成的闭区域。解：区域：关于坐标面均对称（特别就平面） 而被积函数关于z为奇函数 （3），其中是由xOy平面上曲线
7、绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域。解：区域：50yxz xy0baDxy9.07 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。 解：由已知得 x0D-RRy0y9.08在均匀的半径为的半圆薄片的直径上，要接一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少？解：建立如图所示直角坐标系 整个均匀薄片所在区域关于y轴对称；由已知题意，要求整个均匀薄片的重心恰好落在圆心(坐标原点)，即 又 ；即所接均匀矩形薄片另一边的长度应是D9.09 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直0xy1-11线的转动惯量。
8、解：令 则 9.10设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面区域：，的，过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P，求半圆形薄片对质点P的引力。解：由 已 知，令为 面 密 度 ，薄 片 面 积 ， 薄 片 质 量 zDpaR-R0yx 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D的 对 称 性 知 其 中 第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中为上点处切 向量 的方向角。(2) 第二类曲面积分化成第一类曲面积分是，其中为上点处的法 向 量的方向角10.02 计算下列曲线积分：x2+y2=ax0axya/2L(
9、1) ,其中为圆周解：表示为参数方程:有 (2) ,其中为曲线， 解： (3),其中为摆线，上对应从到的一段弧。解: (4)，其中是曲线上由到的一段弧。解: （5），其中L为上半圆周，沿逆时针方向。解: 补直线段由格林公式,有Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA 区域D的面积 又 （6），其中是用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向解: ，用参数方程表示为: 10.03 计算下列曲面积分：x0zyRH(10.03 (1)图)（1），其中是界于平面及之间的原柱面解：投影到平面上的投影为 其中 x0zy1Dxyhx2+y2=h2(10.03 (2)图) （2），其中为锥面,的外侧。 解：补平面上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：的外侧由高斯公式得:又 故 （3），其中为半球面的上侧x0zy1RRx2+y2=R2R解: 补平面下侧,与构成一封闭曲面：的外侧；由高斯公式得: 区域的体积 又 ，（4），其中为曲面的上侧。解: 补平面下侧, 与曲面构成一封闭曲面：的外侧；而由高斯公式得：又（其中）（5），其中为曲面 的外侧解：方法1:
