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1、考点18 异面直线所成的角异面直线所成的角1定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角)2异面直线所成的角的取值范围：3当时，a与b互相垂直，记作【例】设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线（ ）A有无数条 B有两条 C至多有两条 D有一条【答案】A 【规律总结】异面直线所成的角的大小与O点的位置无关，即O点位置不同时，这一角的大小是不会改变的1如图所示，在长方体中，则异面直线所成角的大小为（ ） A30 B45C60 D90【答案】C【解析】连接，由得，所以，所以异面直线所成的角为602如下左图所示，在正
2、三角形中，分别为各边中点，分别为 的中点将沿折成三棱锥后，所成角的度数为（ ） A90 B60 C45 D0【答案】B 3如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A45 B60 C90 D120【答案】B【解析】连结，则，且、，所以异面直线所成的角等于60【易错易混】异面直线所成的角的范围是90，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角4过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（ ） A1条 B2条 C3条 D4条【答案】D 5在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角的大小为_ 【答案】45【解析】B1
3、C1BC，ACB为异面直线AC与B1C1所成的角ACB45，AC与B1C1所成的角的大小为45【方法技巧】求两条异面直线所成角的步骤：（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数（4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角6已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角 【解析】如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M
4、，N分别是BC，AD的中点， 若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30综上可知：AB与MN所成角为60或301如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为（ ） A30 B45C60 D90【答案】C 2在空间四边形ABCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为30，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（ ）A15 B30 C75 D15或75【答案】D【解析】如图， 设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EGAB，FGCD，EGF是AB和CD所成角或是其补角ABCD，EGGF当EGF30
5、时，AB和EF所成角GEF75，当EGF150时，AB和EF所成角GEF153直三棱柱中，若，则异面直线所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D90【答案】C【解析】延长到点，使得，连结，四边形为平行四边形，即就是异面直线所成的角易证得为等边三角形， 4如图，已知长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2（1）BC和AC所成的角是多少度？（2）AA和BC所成的角是多少度？【答案】（1）45；（2）60 地铁中的异面直线地下铁道交通简称地铁它是采用在地下挖隧道，运用有轨电力机车牵引除为方便乘客，在地面每隔一段距离建一个出进站口外，一般不占用城市宝贵土地和空间既不对地面构成任何环境污染，又可以为乘客躲避城市嘈杂烦躁的空间提供良好环境乘坐过地铁的人，普遍都有这样的感觉，快捷、准时、方便、舒适、宁静、安全等据悉，地铁的时速一般在100公里以上除高速公路行驶的高级轿车外，它的运行速度几乎超过了路面的所有交通工具地铁的运量，一般比公共汽车大7至10倍此外，地铁还是发生战争等特大紧急情况最理想的防御工事和庇护所，每逢夏季，地铁还是人们避暑的好地方7
