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1、8.5 垂直关系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意,mnO,a,b,ab,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一
2、个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)直线a，b，则ab.( ) (4)若，aa.( ) (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内
3、.,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.,3.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则 A.若mn，n，则m B.若m，则m C.若m，n，n，则m D.若mn，n，则m,答案,解析,A中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误； B中，由m，可得m或m或m与相交，错误； C中，由
4、m，n，可得mn，又n，则m，正确； D中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.,4.(2016深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是 A.BC平面AGF B.EG平面ABF C.平面AEF平面BCD D.平面ABF平面BCD,答案,解析,易知点A在平面BCD上的投影在底面的中心，而中心不在EF上， 所以平面AEF平面BCD错误，选C.,5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的投影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,答案,解析,外,如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtP
5、OC中， PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB， 又ABPO，POPCP， AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,题型分类 深度剖析,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,例1 (2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，
6、点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD . 证明：DH平面ABCD.,证明,几何画板展示,由已知得ACBD，ADCD.,因此EFHD，从而EFDH.,所以OH1，DHDH3. 于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF， 而OHEFH，且OH，EF平面ABCD， 所以DH平面ABCD.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性
7、质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1 (2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C；,由题意知， E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DEAC. 又因为DE 平面AA1C1C，AC平面AA1C1C， 所以DE平面AA1C1C.,证明,(2)BC1AB1.,证明,又因为BC1平面BCC1B1， 所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC， 所以BC1平面B1
8、AC. 又因为AB1平面B1AC， 所以BC1AB1.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE平面PAD；,证明,方法一 取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊 AB. 又CD綊 AB， 所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE 平面PAD. 所以CE平面PAD.,方法二 连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF AB. 又CD AB， 所以AFCD. 又AFCD，所以四
9、边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF 平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF 平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)求证：平面EFG平面EMN.,证明,因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA. 又因为ABPA， 所以EFAB，同理可证ABFG. 又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD，所以MNAB， 所以MN
10、平面EFG. 又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,引申探究,1.在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.,证明,因为ABPA，ABAC， 且PAACA，所以AB平面PAC. 又MNCD，CDAB，所以MNAB， 所以MN平面PAC. 又MN平面EMN， 所以平面EMN平面PAC.,2.在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.,证明,因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点， 所以EFPA，FGAC， 又EF 平面PAC，PA平面PAC， 所以EF平面PAC. 同理，FG平面PAC. 又EFFGF， 所以平面EFG平面PAC.,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定
11、义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线DE平面A1C1F；l,由已知，DE为ABC的中位线， DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1， DEA1C1， 又DE 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， DE平面A1C1F.,证明,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明,在直三棱柱ABC-A1B1C1中
12、，AA1平面A1B1C1， AA1A1C1， 又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1， A1C1平面ABB1A1， B1D平面ABB1A1， A1C1B1D， 又A1FB1D，且A1FA1C1A1， B1D平面A1C1F， 又B1D平面B1DE， 平面B1DE平面A1C1F.,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,AD2BD2AB2，ADBD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， BD平面ABC
13、D，BD平面PAD. 又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.,证明,(2)求四棱锥PABCD的体积.,解答,过P作POAD， 平面PAD平面ABCD， PO平面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形，PO2 . 在四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四边形ABCD为梯形.,思维升华,垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,跟踪训
14、练3 (2016全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G. (1)证明：G是AB的中点；,证明,因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE. 因为PDDED，PD，DE都在平面PED内， 所以AB平面PED，又PG在平面PED内， 故ABPG. 又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.,(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.,解答,在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影. 理由如下： 由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB， 所以EFPA，EFPC，PCPAP，PC与 PA都在平面PAC中，因此EF平面PAC，即 点F为E在平面PAC内的正投影. 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.,由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD CG.,由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2 . 在等腰直角三角形EFP中， 可得EFPF2，,由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，,典例 (12分)如图
