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1、8.2 空间几何体的表面积与体积,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 ，表面积是侧面积与底面面积之和.,1.多面体的表面积、侧面积,知识梳理,所有侧面的面积之和,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， 若球为正方体
2、的外接球，则2R a； 若球为正方体的内切球，则2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则2R a.,(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( ) (6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S
3、.( ),1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为,考点自测,答案,解析,S表r2rlr2r2r3r212， r24，r2 cm.,2.(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,答案,解析,A.3 B.4 C.24 D.34,由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S2 12 212222434.,3.(2016全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为,答案,解析,4.九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3 寸，容纳米 2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积
4、单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为,答案,解析,A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺 D.48丈6尺,5.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上 的一点，则四棱锥PACC1A1的体积为_.,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 求空间几何体的表面积,例1 (1)(2017淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为,答案,解析,(2)一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.,答案,解析,12,思维升华,空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确
5、定几何体中各元素之间的位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,跟踪训练1 (2016大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_.,答案,解析,26,例2 (2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为,题型二 求空间几何体的体积,命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积,答案,解析,命题点2 求简单几何体的体积,例3 (2016江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四
6、棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积为_m3.,312,答案,解析,由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m， 所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积,正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3). 所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).,思维升华,空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法
7、、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,跟踪训练2 (1)(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三 角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.,答案,解析,(2)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为,答案,解析,又平面BB1C1C平面ABC， 平面BB1C1C平面ABCBC， ADBC，AD平面ABC， AD平面BB1C1C， 即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高.,题型三 与球有关的切、接问题,例4 已知直三棱柱ABCA1
8、B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为,答案,解析,引申探究,1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解答,2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？,解答,3.已知侧棱和底面边长都是3 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？,解答,思维升华,空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的
9、三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.,跟踪训练3 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为,答案,解析,如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2( )2r2，,典例 (2016青岛模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_.,巧用补形法解决立体几何问题,思想与方法系列15,解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何
10、体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等.,96,答案,解析,思想方法指导,几何画板展示,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，,课时作业,1.(2016合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.(2016大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三
11、角形，则这个几何体的体积为,答案,解析,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,3.(2015山东)在梯形ABCD中，ABC ，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为,答案,解析,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BC
12、 CE2DE122 121 ，故选C.,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.(2015安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是,答案,解析,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2016湖北优质高中联考)甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1，V2，则V1V2等于,答案,解析,12,A.14 B.13 C.23 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积
13、及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积 约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出 堆放的米约有,答案,解析,12,A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.(2016北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.,答案,解析,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2016新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足ABCD ，
14、ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面积是_.,答案,解析,7,12,(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,ACADBCBD2，AECD，BECD.,取AB的中点为F，连接EF.由AEBE，得EFAB.,EF1.取EF的中点为O，连接OA，则OF .,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,OAOBOCOD，,外接球的表面积是7.,12,9. (2016三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.则三棱锥PABC体积的
15、最大值为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.(2016武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.,答案,解析,12,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,方法一 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，所以V 1243.,12,方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的 ，直观图如图(1)所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V 1263
