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1、2.2 函数的单调性与最值,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)单调函数的定义,1.函数的单调性,知识梳理,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间A上是 或是 ，那么就称A为单调区间.,增加的,减少的,2.函数的最值,f(x0)M,f(x0)M,f(x)M,f(x)M,函数单调性的常用结论,(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”.,判断下列结论是否正确(请在括
2、号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.( ) (2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，). ( ) (3)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( ),1.下列函数中，定义域是R且为增函数的是 A.yex B.yx3 C.yln x D.y|x|,考点自测,答案,解析,由所给选项知只有yx3的定义域是R且为增函
3、数，故选B.,2.若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是 A.2 B.2 C.2或2 D.0,答案,解析,当a0时，由题意得2a1(a1)2，即a2； 当a0时，a1(2a1)2，即a2， 所以a2，故选C.,3.(2016广州模拟)函数yx22x3(x0)的单调增区间为_.,答案,解析,函数的对称轴为x1， 又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，).,(0，),4.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,(，1,函数f(x)x22ax3的图像开口向上，对称轴为直线xa， 画出草图如图所示. 由图像可
4、知函数f(x)的单调递增区间是a，)， 由1,2a，)，可得a1.,几何画板展示,5.(教材改编)已知函数f(x) ，x2,6，则f(x)的最大值为_， 最小值为_.,答案,解析,2,题型分类 深度剖析,题型一 确定函数的单调性(区间),命题点1 给出具体解析式的函数的单调性,答案,解析,例1 (1)函数 的单调递增区间是 A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2),因为 t0在定义域上是减少的，,所以求原函数的单调递增区间， 即求函数tx24的单调递减区间， 结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).,(2)yx22|x|3的单调递增区间为_.,答案,解析,由题意知，当x0时，y
5、x22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24， 二次函数的图像如图. 由图像可知， 函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数.,(，1，0,1,例2 已知函数f(x) (a0)，用定义法判断函数f(x)在(1,1)上的单调性.,命题点2 解析式含参数的函数的单调性,解答,设1x1x21，,1x1x21，,又a0，f(x1)f(x2)0， 函数f(x)在(1,1)上是减少的.,几何画板展示,引申探究 如何用导数法求解例2?,解答,a0，f(x)0在(1,1)上恒成立， 故函数f(x)在(1,1)上是减少的.,思维升华,确定函数单调性的方法： (1)定义法和导数法，证明函数单
6、调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“”连接.,跟踪训练1 (1)已知函数f(x) ，则该函数的单调递增区间为 A.(，1 B.3，) C.(，1 D.1，),答案,解析,设tx22x3，则t0，即x22x30， 解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图像的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上是减少的， 在3，)上是增加的. 所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,(2)函数f(x)(3x2)ex的单调递增区间是 A.(，0) B.(0，) C.(3,1) D.(，3)和
7、(1，),f(x)2xexex(3x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1). 当30， 所以函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1)，故选C.,答案,解析,题型二 函数的最值,例3 (1)函数f(x) 的最大值为_.,答案,解析,当x1时，函数f(x) 为减函数，,所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1； 当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2. 故函数f(x)的最大值为2.,2,解答,即f(x)在1，)上是增函数，,几何画板展示,若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.,解答,()当a0时，f(x)在1，)内为增函数. 最小值为f(
8、1)a3. 要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30， 所以3a0.,因为x1，)，所以f(x)0，即f(x)在1，)上为增函数， 所以f(x)minf(1)a3， 即a30，a3，所以0a1. 综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.,思维升华,求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最
9、值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.,跟踪训练2 (1)函数yx 的最小值为_.,答案,解析,易知函数yx 在1，)上为增函数，,x1时，ymin1.(本题也可用换元法求解),1,(2)函数f(x) (x1)的最小值为_.,答案,解析,8,令f(x)0，得x4或x2(舍去). 当14时，f(x)0，f(x)在(4，)上是增加的， 所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值，即f(x)minf(4)8.,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小,例4 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x
10、2x1)ab B.cba C.acb D.bac,答案,解析,根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x1对称， 且在(1，)上是减函数，,命题点2 解函数不等式,例5 (2016珠海模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上是增加 的，且f( )0，则满足 的x的集合为_.,由 得 或,答案,解析,命题点3 求参数范围,例6 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是增加的，则实数a的取值范围是,答案,解析,几何画板展示,当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是增加的， 故在(，4)上是增加的；,当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x ，,因为f(x)在(，4)上是增加的，,答案
11、,解析,由已知条件得f(x)为增函数，,几何画板展示,思维升华,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取
12、值.,跟踪训练3 (1)(2016太原模拟)已知函数f(x)x(ex )，若f(x1)f(x2)，则,答案,解析,A.x1x2 B.x1x20 C.x1x2 D.,f(x)x( ex)f(x)，,f(x)在R上为偶函数，,x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数， 由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，,(2)(2016西安模拟)要使函数y 与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_.,答案,解析,(，4),由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数， 故函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数.,因其在(3，)
13、上是增函数，故4k0，得k4.,典例 (12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解抽象函数不等式,答题模板系列1,(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小. (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.,思维点拨,规范解答,答题模板,(1)证明 设x1，x2R且x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. 2分 f(x2)f(x2x
14、1)x1f(x2x1)f(x1)1， 4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数. 6分 (2)解 m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1， 8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，,f(1)2，f(a2a5)2f(1)， 10分 f(x)在R上为增函数， a2a513a2，即a(3,2). 12分,返回,解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化 成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.,返回,课时作业,1.(2016北京东城区
