《高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第7节 三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第7节 三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例教师用书 文 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节第七节 三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例 考纲传真 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 有关的实际问题 1仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角， 目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 371) 图 371 2方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图 371) (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30等 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)从A处望B处的仰角为，从
2、B处望A处的俯角为，则，的关系为 180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( ) 0， 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)如图 372，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算( ) 图 372 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成 60视 角，从B望C和A成 75视角，则BC等于( ) 【导学号：66482179】 A10 n mile B n mile 3 10 6 3 C5 n mile D5 n mile 26 D D
3、 如图，在ABC中， AB10，A60， B75，C45， ， BC sin 60 10 sin 45 BC5. 6 3若点A在点C的北偏东 30，点B在点C的南偏东 60，且ACBC，则点A在点 B的( ) 【导学号：66482180】 A北偏东 15 B北偏西 15 C北偏东 10 D北偏西 10 B B 如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30， 90453015，点A在点B的北偏西 15. 图 373 4如图 373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点在甲、 乙两点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两 地连线所成的角为
4、 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( ) 【导学号：66482181】 A100 m B400 m 2 C200 m D500 m 3 D D 设塔高为x m，则由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得 3 BD2BC2CD22BCCDcosBCD，即 3x2x25002500x，解得x500(m) 图 374 5如图 374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选 定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为( ) A50 m 3 B25 m 3 C25 m 2 D50 m 2 D D 因为ACB45，CAB10
5、5，所以B30.由正弦定理可知 ，即，解得AB50 m AC sin B AB sin C 50 sin 30 AB sin 45 2 测量距离问题 如图 375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 67， 30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果 精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos37 0.80，1.73) 3 图 375 6060 如图所示，过A作ADCB且交CB的延长线于D. 在 RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m. 在ABC中，BAC673037， ABC180
6、67113，AC92 m， 由正弦定理，得 AC sin ABC BC sin BAC ，即， 92 sin 113 BC sin 37 92 sin 67 BC sin 37 解得BC60(m) 92sin 37 sin 67 规律方法 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件； (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理 运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案 变式训练 1 江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面 上，由炮台顶部测得俯
7、角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则 两条船相距_m. 【导学号：66482182】 10 如图，OMAOtan4530(m)， 3 ONAOtan303010(m)， 3 33 在MON中，由余弦定理得， MN10(m) 9003002 30 10 3 3 23003 测量高度问题 (2015湖北高考)如图 376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达B处， 测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m. 图 376 100 由题意，在ABC中，BAC30，ABC
8、18075105，故 6 ACB45. 又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m. 600 sin 45 BC sin 302 在 RtBCD中，CDBCtan30300 2 3 3 100(m) 6 规律方法 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同 一铅垂面内，视线与水平线的夹角 2分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序 地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识 变式训练 2 如图 377，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为 60，在电视塔的南偏西 60的B处测得塔顶的仰角为 45，A
9、B间的距离为 35 米，则这 个电视塔的高度为_米 图 377 5 5 如图，可知CAO60，AOB150， 2 21 1 OBC45，AB35 米 设OCx米，则OAx米，OBx米 3 3 在ABO中，由余弦定理， 得AB2OA2OB22OAOBcosAOB， 即 352x2x2cos150， x2 3 2 3 3 整理得x5， 21 所以此电视塔的高度是 5米 21 测量角度问题 在海岸A处，发现北偏东 45方向、距离A处(1)海里的B处有一艘走私 3 船；在A处北偏西 75方向、距离A处 2 海里的C处的缉私船奉命以 10海里/小时的速 3 度追截走私船同时，走私船正以 10 海里/小时
10、的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问 缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ 解 设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t. 3 在ABC中，AB1，AC2，BAC120. 3 分 3 根据余弦定理，可得 BC 312222 2 31cos 120 ， 6 由正弦定理，得 sinABCsinBAC，ABC45，因此BC与正 AC BC 2 6 3 2 2 2 北方向垂直. 7 分 于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得 sinBCD ， BDsinCBD CD 10tsin 120 10 3t 1 2 BCD30，又， CD sin 120 BC si
11、n 30 即，得t.当缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船，最少要 10 3t 36 6 10 花小时. 12 分 6 10 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要 的一步 (3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 图 378 变式训练 3 如图 378，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB
12、前往B处救援，求 cos的 值 解 在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得， BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20. 4 分 7 由正弦定理，得sinACBsinBAC. 8 分 AB sinACB BC sinBAC AB BC 21 7 由BAC120，知ACB为锐角，则 cosACB. 2 7 7 由ACB30，得 coscos(ACB30)cosACB cos30sinACB sin30. 12 分 21 14 思想与方法 解三角形应用题的两种情形 (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够 条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 (组)，解方程(组)得出所要求的解 易错与防范 1 “方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围 一般是. 0， 2) 2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图 形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误
