《高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教师用书 文 北师大版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考纲传真 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研 究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期 性 1奇函数、偶函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数 2奇(偶)函数的性质 (1)对于函数f (x)，f (x)为奇函数f (x)f (x)； f (x)为偶函数f (x)f (x) (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两 个区间上有相反的单调性 (3)如果奇函数yf (x)在原点有定义，则f (0)
2、0. 3函数的周期性 (1)对于函数f (x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (xT)f (x)，则f (x)为周期函数 (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小正数就叫做f (x)的最小正周期 (3)若T是函数yf (x)的一个周期，则nT(nZ Z，且n0)也是函数yf (x)的一个 周期 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点( ) (2)若函数yf (xa)是偶函数，则函数yf (x)关于直线xa对称( ) (3)若函数yf (xb)是
3、奇函数，则函数yf (x)关于点(b,0)中心对称( ) (4)函数f (x)在定义域上满足f (xa)f (x)，则f (x)是周期为 2a(a0)的周 期函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是( ) 【导学号：66482035】 A B 1 3 1 3 C D 1 2 1 2 B B 依题意b0，且 2a(a1)， b0 且a ，则ab . 1 3 1 3 3(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) Ayxsin2x Byx2cosx Cy2x Dyx2sinx 1 2x D D
4、A 项，定义域为 R R，f (x)xsin2xf (x)，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为 R R，f (x)x2cosxf (x)，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为 R R，f (x)2x2xf (x)，为偶函数，故不符合题意； 1 2x 1 2x D 项，定义域为 R R，f (x)x2sinx，f (x)x2sinx，因为f (x)f (x)，且f (x)f (x)，故为非奇非偶函数 4(2016四川高考)若函数f (x)是定义在 R R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f (x)4x，则f f (2)_. ( 5 2) 2 f (x)是周期为 2 的奇
5、函数，f f f 4 2，f (2) ( 5 2) ( 1 2) ( 1 2) 1 2 f (0)0，f f (2)202. ( 5 2) 5(教材改编)已知函数f (x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f (x)x(1x)， 则x0 时，f (x)_. x(1x) 当x0 时，则x0，f (x)(x)(1x) 又f (x)为奇函数，f (x)f (x)(x)(1x)， f (x)x(1x) 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)x32x； (2)f (x)(x1)； 1x 1x (3)f (x)Error! 解 (1)定义域为 R R，关于原点对称， 又f (x
6、)(x)32(x)x32x(x32x)f (x) 该函数为奇函数. 4 分 (2)由0 可得函数的定义域为(1,1 1x 1x 函数定义域不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数. 8 分 (3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0 时，f (x) x2x， 则当x0 时，x0， 故f (x)x2xf (x)； 当x0 时，f (x)x2x，则当x0 时，x0， 故f (x)x2xf (x)，故原函数是偶函数. 12 分 规律方法 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤： 2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (x)与f (x)的关系，只有对各段上的 x都满足相同的关系时，才能判
7、断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断 变式训练 1 (1)(2014全国卷)设函数f (x)，g(x)的定义域都为 R R，且f (x)是 奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) Af (x)g(x)是偶函数 B|f (x)|g(x)是奇函数 Cf (x)|g(x)|是奇函数 D|f (x)g(x)|是奇函数 (2)判断函数f (x)的奇偶性 3x2x23 (1)C C A：令h(x)f (x)g(x)，则h(x)f (x)g(x)f (x)g(x) h(x)， h(x)是奇函数，A 错 B：令h(x)|f (x)|g(x)，则h(x)|f (x)|g(x)|f (x)|g(
8、x)|f (x) |g(x)h(x)， h(x)是偶函数，B 错 C：令h(x)f (x)|g(x)|，则h(x)f (x)|g(x)|f (x)|g(x)|h(x)， h(x)是奇函数，C 正确 D：令h(x)|f (x)g(x)|，则h(x)|f (x)g(x)|f (x)g(x)|f (x)g(x)|h(x)， h(x)是偶函数，D 错 (2)由Error!得x23，x，3 分 3 即函数f (x)的定义域为， 33 从而f (x)0. 8 分 3x2x23 因此f (x)f (x)且f (x)f (x)， 函数f (x)既是奇函数又是偶函数. 12 分 函数奇偶性的应用 (1)(201
9、5全国卷)若函数f (x)xln(x)为偶函数，则 ax2 a_. (2)已知f (x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f (x)x24x，则f (x) _. (1)1 (2)Error! (1)f (x)为偶函数，f (x)f (x)0 恒成立， xln(x)xln(x)0 恒成立，xln a0 恒成立，ln ax2ax2 a0，即a1. (2)f (x)是定义在 R R 上的奇函数，f (0)0. 又当x0 时，x0，f (x)x24x.又f (x)为奇函数， f (x)f (x)， 即f (x)x24x(x0)， f (x)Error! 规律方法 1.已知函数的奇偶性求参数，一
10、般采用待定系数法求解，根据f (x)f (x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参 数的值； 2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上， 再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x)的方程(组)，从而可得f (x)的值或 解析式 变式训练 2 设f (x)为定义在 R R 上的奇函数当x0 时，f (x)2x2xb(b为 常数)，则f (1)( ) A3 B1 C1 D3 A A 因为f (x)为定义在 R R 上的奇函数，所以有f (0)2020b0，解得 b1，所以当x0 时，f (x)2x2x1，所以f (
11、1)f (1)(21211) 3. 函数的周期性及其应用 设定义在 R R 上的函数f (x)满足f (x2)f (x)，且当x0,2)时，f (x) 2xx2，则f (0)f (1)f (2)f (2 017)_. 【导学号：66482036】 1 009 f (x2)f (x)，函数f (x)的周期T2. 又当x0,2)时，f (x)2xx2，f (0)0，f (1)1，f (0)f (1)1. f (0)f (1)f (2)f (3)f (4)f (5)f (2 016)f (2 017)1， f (0)f (1)f (2)f (2 017)1 009. 迁移探究 1 若将本例中“f (
12、x2)f (x)”改为“f (x1)f (x)” ，则结论 如何？ 解 f (x1)f (x)， f (x2)f (x1)1f (x1)f (x). 5 分 故函数f (x)的周期为 2. 8 分 由本例可知，f (0)f (1)f (2)f (2 017)1 009. 12 分 迁移探究 2 若将本例中“f (x2)f (x)”改为“f (x1)” ，则结论 1 f x 如何？ 解 f (x1)， 1 f x f (x2)f (x1)1f (x). 5 分 1 f x1 故函数f (x)的周期为 2. 8 分 由本例可知，f (0)f (1)f (2)f (2 017)1 009. 12 分
13、 规律方法 1.判断函数的周期只需证明f (xT)f (x)(T0)便可证明函数是周 期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 2函数周期性的三个常用结论： (1)若f (xa)f (x)，则T2a， (2)若f (xa)，则T2a， 1 f x (3)若f (xa)，则T2a(a0) 1 f x 变式训练 3 (2017长沙模拟(一)已知定义在 R R 上的函数f (x)满足f (x1) f (x)，且f (x)Error!则下列函数值为 1 的是( ) Af (2.5) Bf (f (2.5) Cf (f (1.5) Df (2) D D 由f (x1)
14、f (x)知f (x2)f (x1)f (x)，于是f (x)是以 2 为周 期的周期函数，从而f (2.5)f (0.5)1，f (f (2.5)f (1)f (1)1，f (f (1.5)f (f (0.5)f (1)1，f (2)f (0)1，故选 D. 思想与方法 1函数奇偶性的三个常用性质 (1)若奇函数f (x)在x0 处有定义，则f (0)0. (2)若f (x)为偶函数，则f (|x|)f (x) (3)设f (x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇， 奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇 2利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函 数单调性 3在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ Z 且k0)也是函 数的周期”的应用 易错与防范 1判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称
