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1、专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1
2、CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=45.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,ADC=45,AD=AC=2,O为AC的中点,PO平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平
3、面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PEBC;(2)平面PAB平面PCD;(3)EF平面PCD.7.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于点E,把DEC沿CE折到DEC的位置,使DA=23,如图.若G,H分别为DB,DE的中点.(1)求证:GHDA;(2)求三棱锥C-DBE的体积.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.专题对点练17答案1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A
4、1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.2.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,
5、BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=3,DF=,得cosBDF=217,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.3.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点
6、,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.(1)证明 在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=45,所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面PAD.又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.(2)解 过点P作POAD交AD于点O,因为平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD,所以PO为四棱锥
7、P-ABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=324=23.在底面四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在RtADB中,斜边AB边上的高为4845=855,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=25+452855=24.故VP-ABCD=2423=163.5.(1)证明 PO平面ABCD,且AD平面ABCD,POAD.ADC=45,且AD=AC=2,ACD=45,DAC=90,ADAC.AC平面PAC,PO平面PAC,且ACPO=O,AD平面PAC.(2)解 取DO的中点N,连接MN,AN,由PO平面ABCD,得MN平面ABCD,MA
8、N是直线AM与平面ABCD所成的角.M为PD的中点,MNPO,且MN=PO=3,AN=DO=52.在RtANM中,tanMAN=MNAN=352=655,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为655.6.证明 (1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点
9、,EDBC,ED=BC,EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.7.(1)证明 连接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=ED2+CE2=25,AC=22,可得AC2+AD2=CD2,可得ADAC.因为AEAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE.又G,H分别为DB,DE的中点,所以GHBE,所以GHDA.(2)解 设三棱锥C-DBE的体积为V,则V=SBCEAD=13122223=433.8.(1)证明 如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,AD=DE2+AE2=5.侧面SAB为等边三角形,AB=2,SA=SB=AB=2,且SE=3.又SD=1,SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,SDSA,SDSB.SASB=S,SD平面SAB.(2)解 设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得SABDh=SSABSD.又SABD=ABDE=22=2,SSAB=34AB2=3422=3,SD=1,所以h=SSABSDSABD=312=32.故四棱锥S-ABCD的高为32.
