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1、第22讲 三角形与全等三角形,内容索引,基础诊断 梳理自测，理解记忆,考点突破 分类讲练，以例求法,易错防范 辨析错因，提升考能,基础诊断,返回,知识梳理,1,1.三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而组成的图形叫做三角形. 2.三角形边、角关系 (1)三角形的任何两边之和 第三边；任何两边之差 第三边. (2)三角形的内角和等于 ，三角形的外角和等于 . (3)三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和. (4)三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角.,大于,小于,180,360,等于,大于,3.三角形中的主要线段 (1)一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做
2、三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点，叫三角形的 ，它到各边的距离相等. (2)连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形三条中线的交点，叫三角形的 . (3)三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.三角形三条高线的交点，叫三角形的 . (4)连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.,内心,重心,垂心,4.全等形、全等三角形 (1)能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角
3、叫做对应角. 5.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等.,6.全等三角形的判定 (1) 对应相等的两个三角形全等(SAS)； (2) 对应相等的两个三角形全等(ASA)； (3) 对应相等的两个三角形全等(AAS)； (4) 对应相等的两个三角形全等(SSS)； (5) 对应相等的两个直角三角形全等(HL).,两边和夹角,两角和夹边,两角和其中一角的对边,三边,斜边和一条直角边,7.中垂线、角平分线 (1)经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线
4、.中垂线是线段的对称轴. 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.反之，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. (2)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.角平分线所在的直线是角的对称轴. 角平分线上的点到角的两边的距离相等.反之，角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上.,8.证明全等三角形的三种基本思路 (1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等； (2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等； (3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等. 另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图
5、形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件.,1.(2016百色)三角形的内角和等于( ) A.90 B.180 C.300 D.360,诊断自测,2,1,2,3,4,5,B,2.(2016随州)如图，直线ab，直线c分别与a、b相交于A、B两点，ACAB于点A，交直线b于点C.已知142，则2的度数是( ),1,2,3,4,解析 直线ab，1CBA， 142，CBA42， ACAB，2CBA90， 248.,C,A.38 B.42 C.48 D.58,5,3.(2016毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条
6、边的垂直平分线的交点,1,2,3,4,D,5,1,2,3,4,4.(2016湖州)如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD8，则点P到BC的距离是( ),C,解析 过点P作PEBC于E， ABCD，PAAB，PDCD， BP和CP分别平分ABC和DCB， PAPE，PDPE，PEPAPD， PAPDAD8，,A.8 B.6 C.4 D.2,5,1,2,3,4,D,5,1,2,3,4,返回,ABDCBD(SSS)，故正确； ADBCDB，,AODCOD(SAS)， AODCOD90，AOCO，,5,考点突破,返回,例1 (2016西宁)下列每组数分别是三
7、根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cm C.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm,考点一,三角形三边关系,分析 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断. A、348，故以这三根木棒不可以构成三角形； B、8715，故以这三根木棒不能构成三角形； C、5511，故以这三根木棒不能构成三角形； D、121320，故以这三根木棒能构成三角形.,答案,分析,规律方法,D,本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边.,规律方法,练习1,答案,分析,(201
8、6长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A.6 B.3 C.2 D.11,A,分析 设第三边为x，则4x10，故符合条件的整数为6.,三角形内外角的性质,考点二,例2 (2016大庆)如图，在ABC中，A40，D点是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC .,分析 D点是ABC和ACB角平分线的交点，,110,ABCACB18040140， DBCDCB70， BDC18070110.,答案,分析,规律方法,本题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键.,规律方法,
9、(2016南京)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图，BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证：BAECBFACD360.,练习2,证法1：_， BAE1CBF2ACD31803540， BAECBFACD540123， _， BAECBFACD540180360. 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.,答案,解 BAE1CBF2ACD3180； 123180. 证法2：过点A作射线AP，使APBD， APBD， CBFPAB，ACDEAP， BAEPABEAP360， BAECBFACD360.,考点三 全等三角形的判定与性质,例3 (2016湘西)如图，点O
10、是线段AB和线段CD的中点. (1)求证：AODBOC；,答案,证明 点O是线段AB和线段CD的中点， AOBO，CODO. 在AOD和BOC中，,AODBOC(SAS).,答案,规律方法,(2)求证：ADBC.,证明 AODBOC， AB，ADBC.,本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：利用SAS证出AODBOC；找出AB.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两个三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可.,规律方法,练习3,答案,(2016重庆)如图，在ABC和CED中，ABCD
11、，ABCE，ACCD，求证：BE.,解 ABCD，DCACAB， 又ABCE，ACCD， CABDCE，BE.,例4 (2015绍兴)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角DAG，其中0180，连结DF，BF，如图. (1)若0，则DFBF，请加以证明；,全等三角形综合问题,考点四,答案,规律方法,解 证明：如答图1， 四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， AGAE，ADAB，GFEF，DGFBEF90，DGBE， 在DGF和BEF中，,DGFBEF(SAS)，DFBF.,答图1,(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是
12、假命题；,答案,规律方法,解 图形(即反例)如答图2：,答图2,(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.,答案,规律方法,解 补充一个条件为：点F在正方形ABCD内，即若点F在正方形ABCD内，DFBF，则旋转角0.,本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件.,规律方法,(2015菏泽)如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC. (1)如图1，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC、DF
13、、CF，判断CDF的形状并证明；,练习4,答案,解 CDF是等腰三角形，理由如下： AFAD，ABC90， FADDBC90， 在FAD与DBC中， ADBC，FADDBC，AFBD， FADDBC(SAS)，FDDC， CDF是等腰三角形.,(2)如图2，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.,答案,返回,解 如图，作AFAB于A，使AFBD，连结DF，CF， AFAD，ABC90，FADDBC90， 在FAD与DBC中，ADBC，FADDBC，AFBD， FADDBC(SAS)，FDDC， CDF是
14、等腰三角形，FADDBC，FDADCB， BDCDCB90， BDCFDA90， CDF是等腰直角三角形，FCD45， AFCE，且AFCE， 四边形AFCE是平行四边形，AECF， APDFCD45.,返回,易错防范,返回,易错警示系列 22,留心“边边角”不可以判定三角形全等,试题 如图，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且CDBE，求证：ADCAEB.,错误答案展示 证明：在ACD和ABE中，,ACDABE，ADCAEB.,正确解答,分析与反思,剖析,剖析 全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成败，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”、“边角边”、“角角边”及“斜边、直角边”.本题错解的原因是将“边边角”作为判定三角形全等的条件.,正确解答,分析与反思,正确解答 证明：连接BC.,ABAC，ABCACB.
