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1、专题对点练11三角变换与解三角形1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且3a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=7,且ABC的面积为332,求a+b的值.3.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若a=2,b=7,求c的长.4.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin C=3ccos A.(1)求角A;(2)若b=2,ABC的面积为3,求a.5.在ABC中,角A,B,C的
2、对边分别为a,b,c,且满足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若D为BC上一点,且CD=2DB,b=3,AD=21,求a.6.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,ABC的面积为332,又AC=2CD,CBD=.(1)求a,A,cosABC;(2)求cos 2的值.7.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且满足a=3bcos C.(1)求tanCtanB的值;(2)若a=3,tan A=3,求ABC的面积.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=
3、2,角B的平分线BD=3,求a.专题对点练11答案1.解 因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0,sin A=3cos A,则tan A=3,由0A得A=.(2)b=2,A=,ABC的面积为3,bcsin A=3,则2c32=3,解得c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=4+4-222=4,则a=2.5.解 (1)由2c-ba=cosBcosA,则(2c-b)cos A=acos B,由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R,则a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C
4、,(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,由sin C0,则cos A=,即A=,角A的大小为.(2)过点D作DEAC,交AB于点E,则ADE中,ED=AC=1,DEA=23,由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AEEDcos,又AD=21,AE=4,AB=6.又AC=3,BAC=,则ABC为直角三角形,a=BC=33,a的值为33.6.解 (1)由ABC的面积为332=12bcsin A,可得23sin A=332,可得sin A=32,
5、又A为锐角,可得A=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+32-223cos=7,解得a=7,可得cosABC=a2+c2-b22ac=(7)2+32-22273=277.(2)由AC=2CD,知CD=1,由ABD为正三角形,即BD=3,且sinABC=1-cos2ABC=217,cos =cos3-ABC=coscosABC+sinsinABC=12277+32217=5714,cos 2=2cos2-1=1114.7.解 (1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可得2Rsin A=32Rsin Bcos C.A+B+C=,sin A=sin(B+C)=3s
6、in Bcos C,即sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Bcos C.cos Bsin C=2sin Bcos C,cosBsinCsinBcosC=2,故tanCtanB=2.(2)(方法一)由A+B+C=,得tan(B+C)=tan(-A)=-3,即tanB+tanC1-tanBtanC=-3,将tan C=2tan B 代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tan B=1或tan B=-,根据tan C=2tan B得tan C,tan B同正,tan B=1,tan C=2.又tan A=3,可得sin B=22,sin C=255,sin A=31010,代
7、入正弦定理可得331010=b22,b=5,SABC=absin C=35255=3.(方法二)由A+B+C=得tan(B+C)=tan(-A)=-3,即tanB+tanC1-tanBtanC=-3,将tan C=2tan B 代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tan B=1或tan B=-,根据tan C=2tan B得tan C,tan B同正,tan B=1,tan C=2.又a=3bcos C=3,bcos C=1,abcos C=3.abcos Ctan C=6.SABC=absin C=6=3.8.解 (1)由2acos C-c=2b及正弦定理得2sin Acos C-sin C=2sin B,2sin Acos C-sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,-sin C=2cos Asin C,sin C0,cos A=-,又A(0,),A=23.(2)在ABD中,c=2,角B的平分线BD=3,由正弦定理得ABsinADB=BDsinA,sinADB=ABsinABD=2323=22,由A=23,得ADB=,ABC=2-23-4=6,ACB=-23-6=6,AC=AB=2.由余弦定理得a2=BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=2+2-222-12=6,a=6.
