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1、思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.方程sinx-4=14x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对3.若xx|log2x=2-x,则()A.x2x1B.x21xC.1x2xD.x1x24.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a0)在区间(-,b上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.22B.2-2或6-32C.632D.2+2或6+325.已知函数f(x)=与g(x)
2、=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)6.(2018浙江,9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-37.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.8.函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.9.若不等式9-x2k(x+2)-2的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.10.已知函数f(x)为偶函
3、数且f(x)=f(x-4),又f(x)=-x2-32x+5,0x1,2x+2-x,12,函数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.74,+B.-,74C.0,74D.74,2来源:学科网ZXXK13.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)1,则方程f(x)=2x在区间0,2 018上的根的个数是.15.已知函数f(x)=|lgx|,010.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a
4、,bR),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=f(x),x0,g(x),x0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.D解析 由题图知,z=2+i,z1+i=2+i1+i=2+i1+i1-i1-i=32-12i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.B解析 在同一坐标系内作出y=sinx-4与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.A解析 设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x1,则有x2x1.4.D解析 结合函数f(x)的图象(
5、图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b3),解得b=2+2;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b9),解得b=6+32,故选D.5.B解析 如图,由题知,若f(x)=4x与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有23+t2,(-2)3+t-2,解得-6t6.6.A解析 e为单位向量,b2-4eb+3=0,b2-4eb+4e2=1.(b-2e)2=1.以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.OE=2e,OB=b,OA=a,=3.由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.由|a-b|=|OA-OB|=|BA
6、|,可知|a-b|的最小值即为|BA|的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.又直线OA为y=3x,点E为(2,0),点E到直线OA的距离d=232=3.|BA|的最小值为3-1,即|a-b|的最小值为3-1.7.-解析 在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.8.2解析 f(x)=2sin xsinx+2-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有2个交点,当xf(1),g(3)2,得f(x)=2+x,x2,f(2-
7、x)=2+2-x,2-x2=x2,x2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b74,2时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.13.D解析 设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,函数g(x)单调递增
8、.所以g(x)的最小值为g-12.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D12,0.取点C-1,-3e.由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足kPCakPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32ea1.故选D.14.2 019解析 画出y=f(x)与y=2x的图象如图所示,由图象可得,方
9、程f(x)=2x在0,2 018内的根分别是x=0,1,2,3,2 018,共2 019个.15.解 因为-lg a=lg bab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10c12,因此10abc12.故abc的取值范围是(10,12).16.解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-1xg(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x(0,1)时,g(x)=x-1x0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g (1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,x(-1,0)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12a22a,所以实数a的取值范围是22,2.图图
