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1、二次函数与面积最值二次函数与面积最值答案答案 【例1】 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为20 ，连结OA，将线段OA绕原点 O顺时针旋转120，得到线段OB （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求 出点C的坐标；若不存在，请说明理由 （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大 面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 【答案】 （1） 13B， （2）设抛物线的解析式为yax xa，代入点 13B，得 3 3 a ， 因此
2、 2 32 3 33 yxx （3）如图，抛物线的对称轴是直线1x ，当点C位于对称轴与线段AB的交点 时，BOC的周长最小设直线AB为ykxb所以 3 20. kb kb ， 解得 C B OAx y B OAx y P D B OAx y 3 3 2 3 3 k b ， 因此直线AB为 32 3 33 yx， 当1x 时， 3 3 y ， 因此点C的坐标为 13 ， （4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D 1 2 PABPADPBDdpBA SSSyyxx 【例2】 如图，抛物线与轴交与，两点 （1）求该抛物线的解析式； （2） 在 （1） 中的抛物线上的第二象限上是否存在一点， 使的面
3、积最大？， 若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由. 2 yxbxcx10A，30B ， PPBC PPBC C y x A B O Q C y x A B O E P C y x A B O 【答案】 （1）将，代中得， 抛物线解析式为： （2）存在 理由如下：设点且 ，若有最大值，则就最 大 当时， 当时， 点坐标为 【例3】 如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象与一次函数 y=x+2 的图象交于 A、B 两点， 点 A 的横坐标是1，点 B 的横坐标是 2 （1）求二次函数的表达式； （2）设点 C 在二次函数图象的 OB 段上，求四边形 OABC 面积的最大 值 【
4、答案】 （1）把 x=1 和 2 分别代入 y=x+2，得到 y 的值分别是 1、4，因而 A、B 的坐标分 10A，30B ， 2 yxbxc 10 930 bc bc 2 3 b c 2 23yxx P 2 23xxx，30x 9 2 BPCBOCBPCOBPCO SSSS 四边形四边形BPCO S四边形 BPC S = RtBPEBPCOPEOC SSS 四边形直角梯形 11 = 22 BE PEOE PEOC 22 11 323233 22 xxxxxx 2 33927 2228 x 3 2 x 927 =+ 28 BPCO S四边形 最大值 927927 =+ 2828 BPC S
5、最大值 3 2 x 2 15 23 4 xx P 315 24 ， 别是（1，1） ， （2，4） 根据题意得到： 1 424 ab ab ，解得 1 0 a b 因而二次函数的解析式是 y=x2 （2）过点 A、B 作 AMx 轴，BNx 轴，分别交于 M、N过点 C 作 CP BN 与 P 设 P 的坐标是（x，y） 1115 =143 222 AMNB SAMBNMN 梯形 ； 11 22 AOM SAM OM ； 2 111 2424 222 BCP SCP BPxyxx ； 2 111 =224 222 CPNO SCPONPNxyxx 四边形 2 =23 AOMBCPOABCCPN
6、OAMNB SSSSSxx 四边形四边形梯形 当 x=1 时，函数 S=x2+2x+3 有最大值是 4 二次函数与线段最值二次函数与线段最值答案答案 【例1】 已知二次函数图象的顶点坐标为 M（2，0） ，直线 y=x+2 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上（如图示） （1）求该二次函数的解析式； （2）P 为线段 AB 上一动点（A、B 两端点除外） ，过 P 作 x 轴的垂线与二次函数的图象交 于点 Q，设线段 PQ 的长为 y，点 P 的横坐标为 x，求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最大值以及 x 的取值范围； 【答案】 （1）依题意，设二次
7、函数的解析式为 y=a（x2）2， 由于直线 y=x+2 与 y 轴交于（0，2） ， x=0，y=2 满足 y=a（x2）2，于是求得 a=1 2， 二次函数的解析式为 y=1 2（x2） 2； （2）依题意得， 2 2 11 1223 22 PQxxxx ， 由 2 2 1 2 2 yx yx ，求得点 B 的坐标为（6，8） ，0x6； 【例2】 如图，抛物线与轴交与，两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点， 使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）将，代中得， 抛物线解析式为： （2）存在
8、 理由如下：由题知、两点关于抛物线的对称轴对称 直线与的交点即为点，此时周长最小 C 的坐标为： 直线解析式为： 点坐标即为的解， 2 yxbxcx10A，30B ， yCQ QACQ C y x A B O Q C y x A B O 10A，30B ， 2 yxbxc 10 930 bc bc 2 3 b c 2 23yxx AB1x BC1x QQAC 2 23yxx03， BC3yx Q 1 3 x yx 1 2 x y 12Q ， 【例3】 如图，抛物线 2 1 2 2 yxbx与x轴交于A B，两点，与y轴交于C点，且 1 0A ， （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ） （2
9、）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点(0)M m，是 x 轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求 m 的值 【答案】 （1）点( 1 0)A ，在抛物线 2 1 2 2 yxbx上， 2 1 ( 1)( 1)20 2 b ， 3 2 b 抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx 2 22 1311325 2(34) 222228 yxxxxx ， 顶点D的坐标为 32 5 28 ， （2）当0x 时，2y ，(02)2COC， 当0y 时， 2 13 20 22 xx， 1 1x ， 2 4x ，(4 0)B， 1OA，4OB ，5AB 2 25AB ， 222 5ACOAOC，
10、 222 20BCOCOB， 222 ACBCABABC是直角三角形。 （3）作出点C关于x轴的对称点 C ，则(0 2) C ，2OC 连接C D交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD的值最小 1 1 -1 B D C AO x y C M E 1 1 -1 B D C AO x y 【例4】 已知： 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 直线 3 6 4 yx 与 x 轴、y轴的交点分 别 为AB、，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点.C （1）直接写出点C的坐标，并求过ABC、 、三点的抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与直线BC的交点
11、为T Q ，为线段BT上一点，直接写出 QAQO 的取值范围. 【答案】 （1）点C的坐标为(3,0). 点 A、B 的坐标分别为(8,0), (0,6)AB， 可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)ya xx. 将0,6xy代入抛物线的解析式，得 1 4 a . 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 111 6 44 yxx. （2）QAQO的取值范围是04QAQO. 说明：由对称性可知 QO=QH，QAQOQAQH.当点 Q 与点 B 重合时，Q、 H、A 三点共线，QAQO取得最大值 4（即为 AH 的长） ；设线段 OA 的垂直平 分线与直线 BC 的交点为 K，当点 Q 与点 K 重合时，QAQO取得最小值 0. y A D x T H C B O 1 1 Q H C T K A B O x y
