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1、第三讲 3.1证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。 证：体心立方基矢取为 += += += )( 2 )( 2 )( 2 3 2 1 kji a a kji a a kji a a ? ? ? ? ? ? 其中 a 为晶格常数 其倒格子基矢，按定义 )( 2 )( 2 111 111 4 2 1 2 )( 2 2 3 321 ji b ji a kji a a aab ? ? ? ? +=+= = = )( 2 )( 2 132 kj b aab ? ? ? ? += = )( 2 )( 2 213 ki b aab ? ? ? += = 可见，体心立方的倒格子是
2、晶格常数为 a b 4 =的面心立方。 同理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为 a 4 的体心立方。 3.2证明：倒格子原胞的体积为(2)3/ ，其中为正格子原胞的体积 证：正格子原胞体积 )( 321 aaa ? = 倒格子原胞体积 * 1231212 2 ()(bbbbbaa ) = ? ? 利用矢量公式 CBABCACBA ? =)()()( 并利用性质 ijji aa2= ? ，可得 = = 3 11 * 8 2 2 ab ? ? 3.3倒格子矢量为 Kh = h1b1 + h2 b2 + h3 b3，证明布里渊区边界方程为： 0 2 1 2 2 = hh KKk ? 证：布里渊区边界
3、垂直且平分倒格矢 h K ? ，故该边界面上任一矢量满足 0) 2 1 (= hh KKk ? 即边界方程为 0 2 1 2 2 = hh KKk ? 3.4画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。 解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。 首先根据正格子原胞基矢计算倒格子原胞基矢 （略） ， 根据倒格子原胞基矢画出倒格子点阵， 然后画出前三个布里渊区。 正方格子的布里渊区 六角格子的布里渊区 3.5 写出体心立方第一布里渊区图上点,H, N, P, ,F 的倒格子空间坐标。 布里渊区中心用表示，表示轴，表示轴，表示轴。 (0 0 0) H (0 1 2
4、 0) (0 1 4 0) N ( 1 4 1 4 0) ( 1 8 1 8 0) P ( 1 4 1 4 1 4 ) ( 1 8 1 8 1 8 ) F ( 1 8 3 8 1 8 ) 第四讲 4.1倒格子矢量为 Kh = h1b1 + h2 b2 + h3 b3，证明布里渊区边界方程为： 0 2 1 2 2 = hh KKk ? 证明此方程就是波在晶体中(h1h2h3) 晶面族上发生全反射的布喇格方程。 证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢 h K ? ，故该边界面上任一矢量满足 0) 2 1 (= hh KKk ? 即边界方程为 0 2 1 2 2 = hh KKk ? 取 h K ? 方向
5、最短的倒格矢为 0 K ? ， 0 KnKh ? = 将面间距公式 0 2 K d? =代入边界方程，有 0 2 cos 2 2= d n 其中，为k ? 与 h K ? 的夹角。取其余角， = 2 ，上式化为 nd=sin2 即 Bragg 公式。 4.2讨论KCl晶体的几何结构因子及消光条件。提示,K+ 和Cl- 有相同的电子壳层结构和相 同的原子形状因子。 解：K ，Cl电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子， KCl fff + = 单胞中 4 个 K ，4 个 Cl，各自排为面心结构，设其坐标分别为 K：( )0 , 0 , 0)0 , 2 1 , 2 1 ( ) 2 1 , 0
6、, 2 1 ( ) 2 1 , 2 1 , 0( Cl：)0 , 0 , 2 1 (Kcoord. 几何结构因子 8 ()()() 1 (1)1 hj iKr i HiHKiHLiKL HKLj j Ff efeeee + = =+ + ? ? 消光时， 2 0 HKLHKL IF=。条件： （i）H 为奇数 或（ii）HK中有两奇一偶，即衍射面指数中不能为全奇或全 偶。 ,HL KL+,H K L 因此，只需中存在一个奇数，即会消光。 ,H K L 注： 由于 KCl ff += ) ，故对 X 射线衍射而言也可将晶体视为简单立方结构 但此时晶格常数减小一倍， 相应倒格子基矢扩大一倍。 因此
7、， 简单立方中所 表示的晶面，如(111)，在原系统中为 ()H K L ()(222H K LHKL=，即(222)。尽管对简 单立方而言，不存在消光，H K L,H K可任取正整数值，但却只能取偶数，这 于前面的结果一致。 L 4.3证明对立方晶系进行X 射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为 (H K L)， 出现的衍 射线G=H2+K2+L2 的值如下： 简单立方： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 体心立方： 2, 4, 6, 8, 10, 12, 面心立方： 3, 4, 8, 11, 12, 金刚石： 3, 8, 11, 解： （1）简单立方 不
8、存在消光，可任取非负整数（但不同时为 0） ,H K L （H K L） (001) (011) (111)(002)(012)(112)(222) (003) (122) (013) (113) G=H2+K2+L2 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 （2）体心立方 几何结构因子 () 1 iHKL HKL Ffe + =+ 衍射条件 H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立方的列表中去除了 G=1,3,5,9 2,4,6,8 BCC G=? （3）面心立方 几何结构因子 ()()() 1 iHKiHLiKL HKL Ffeee + =+ 根据上一道题的讨论，衍射条件要求 H,K,L
9、 奇偶性相同 故列表中只取 3,4,8,11 FCC G=? （4）金刚石 几何结构因子 () 2 1 iHKL HKL Ffe + =+面心立方因子 即除 H,K,L 奇偶性相同外，还须要求(H+K+L)/2 不能为奇数，由此 i）H,K,L 全为奇数 或 ii）H,K,L 全为偶数，且三者之和是 4 的整数倍 4.4 原子氢的形状因子。对于基态的氢原子，（电子）数目密度是 此处a 31 0 ( )()exp( 2 /)n rar a = 0 0是玻尔半径。 证明形状因子是 222 0 16/(4) h Kh fK a=+ 提示：利用积分公式 1 0 ! nx n n x edx + = 证
10、明： 2 0 sin 4( ) h h K h K r fn r rdr K r = （1） 由题意知 31 00 ( )()exp( 2 /)n rar a = 代入（1）式，得 0 3 00 0 3 0 0 00 3 000 4 exp( 2 /)sin () 41 exp( 2 /)exp()exp() 2 2 exp(2 /)exp(2 /) h Kh h hh h hh h frr aK rdr Ka rr aiK riK r dr K ai riK rr a drriK rr a dr iK a = = = 利用积分公式 1 0 ! nx n n x edx + = 得 22 3
11、000 222 0 222 ()() 16 (4) h Kh h h fiK iK aaa K a =+ = + h iK 第五讲 5.1 由于晶体周期性的限制，证明晶体旋转对称轴的转角只能是 2/n ;n=1, 2,3, 4,6 ，五种。 证：设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用l a 1122 l a+ ? ? 来描述 绕通过 A 的转轴的任意对称操作，转过角度 B 点转到 B点（B点必有一个格点） A 和 B 两点等价 以通过 B 点的轴顺时针转过 A 点转到 A点（A点必有一个格点） 且有B AnAB=（n 为整数） (1 2cos )B AAB= 12cosn= cos
12、: 11+ 1,0,1,2,3n = 0 ,60 ,90 ,120 ,180 oooo = o 因此晶体的宏观对称操作只能是旋转以上五种角度，其转轴分别称为 1，6，4，3，2 重旋转对称轴。 1.11 证明六角晶体的介电常数张量为 1 2 2 00 00 00 证 1：六角晶体，设介电常数为 xxxyxz yxyyyz zxzyzz ，取坐标架如图示 选电场方向在 x 轴方向，有 xxx yyx zzx D DE D = 绕 x 轴旋转晶体 180o，电场不变 xxxx yyyx zzzx DD DD DD = = E 因为绕 x 轴转 180 度为对称操作，应有DD = ? 0 yxzx
13、= 同理，选电场方向在 y 轴、z 轴，绕轴转 180 度为晶体的对称操作，可推出非对角项 为 0 0 xyzyxzyz = z 另，可选电场在图示方向， E 60o 13 22 yz EEeE=+e ? y 代入 00 0 00 xx yy zz 0 ，有 0 1 2 3 2 x yyy z zz D DE D = 绕电场方向为轴转 180 度，电场不变 0 0 1313 2244 3133 2244 x yyzyyz z yzyyzz D DDD D DD = +=+ + z E 该操作也为六角晶体的对称操作，根据DD = ? ，必有 yyzz = 因此，介电常数张量可写为 1 2 2 00 00 00 证 2：设转动操作的变换矩阵为 T，在该操作下二阶张量的变换为 1 T T = 若该操作为对称操作，应满足 = 取对称操作为绕 x 轴转 180 度，T 100 010 001 = 代入上式，有 ( )= 00 0 0 xx yyyz zyzz 再取对称操作为绕 y 轴转 180 度，T 100 010 001 = 代入上式，有 ( )= 00 00 00 xx yy zz 最后，取绕 z 轴转 120 度，T，可得 100 0cos60sin60 0sin60cos60 = ? ? yyzz = 第六讲 2.2讨论使离子电荷加倍所引
