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1、2.函数与导数,1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多. 回扣问题1 若A1，2，3，B4，1，则从A到B的函数共有_个；其中以B为值域的函数共有_个. 答案 8 6,2.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.若f(x)定义域为a，b，复合函数fg(x)定义域由ag(x)b解出；若fg(x)定义域为a，b，则f(x)定义域相当于xa，b时g(x)的值域.,答案 1，
2、3,3.求函数解析式的主要方法： (1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法； (4)解方程法等.,4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.,答案 2,5.函数的奇偶性 f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|); f(x)是奇函数f(x)f(x)； 定义域含0的奇函数满足f(0)0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(x)的关系. 回扣问题5 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)1，求f(x)的解析式.,6.函数的周期
3、性,答案 0.5,7.函数的单调性,复合函数由同增异减的判定法则来判定. 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替. 回扣问题7 函数f(x)x33x的单调递增区间是_. 答案 (，1)，(1，),8.求函数最值(值域)常用的方法：,(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可导函数； (5)换元法(特别注意新元的范围)； (6)分离常数法：适合于一次分式；,(7)有
4、界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.,9.常见的图象变换,(1)平移变换 函数yf(xa)的图象是把函数yf(x)的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位得到的. 函数yf(x)a的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位得到的.,(3)对称变换 证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0(y轴)对称；函数
5、yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.,答案 向左平移3个单位，再向下平移1个单位,10.二次函数问题,(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0)； 顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)； 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).,(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数
6、或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形. 回扣问题10 若关于x的方程ax2x10至少有一个正根，则a的范围为_.,11.指、对数函数,(2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0，1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1，0). 回扣问题11 设alog36，blog510，clog714，则a，b，c的大小关系是_. 答案 abc,12.幂函数,形如yx(R)的函数为幂函数. (1)若1，则yx，图象是直线. 当0时，yx01(x0)图象是除点(0，1)外的直线. 当
7、01时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的. 当1时，在第一象限内，图象是下凸的.,(2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数，当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数.,答案 1,13.函数与方程,(1)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标. (2)yf(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0(a，b)使f(x0)0.这个x0也就是方程f(x)0的根. (3)用二分法求函数零点 回扣问题13 (判断题)函数f(x)2x3x
8、的零点所在的一个区间是(1，0).( ) 答案 ,14.导数的几何意义和物理意义,(1)函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0). (2)vs(t)表示t时刻即时速度，av(t)表示t时刻加速度. 注意：过某点的切线不一定只有一条. 回扣问题14 已知函数f(x)x33x，过点P(2，6)作曲线yf(x)的切线，则此切线的方程是_. 答案 3xy0或24xy540,15.利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0，那么f(x)在该区间内为常数. 注意：如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此.,回扣问题15 函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_.,16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f (0)0，但x0不是极值点.,答案 x1,
