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1、2.2等差数列的前n项和 （第二课时）,等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,一、常用数列的求和方法：,(3)裂项法：设an是等差数列，公差d0,新课讲授,(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。,.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？,Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）,则 Sn=An2+Bn,令,新课讲授,结论1：若数列an的前n项和为Sn=pn2+qn，,(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列an是等差数列。,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,若C0，则数列an不
2、是等差数列。,若C=0，则an为等差数列；,结论2：设数列an的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）,当d=0时,Sn=na1不是二次函数,问题与思考,例1 若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。,13,例2 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.,例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。,解：设首项为a1，公差为d，则有：,设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= 6,即,解之得：,另解：,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13
3、且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等
4、差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,解:,由S3=S11得,d0，则d/20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象开口向下，如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,例1的变式题一：等差数列an中，首项a1，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？,例2：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最
5、大值。S11最大为121,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号 当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,小结,Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）,结论1：若数列an的前n项和为Sn=pn2+qn，,(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列an是等差数列。,若C0，则数列an不是等差数列。,若C=0，则an为等差数列；,结论2：设数列an的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）,小结,结论:3：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：,（1）当d0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；,（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n 的二次函数。,反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。,若C0，则数列an不是等差数列。,若C=0，则an为等差数列；,Sn=An2+Bn+C，,谢谢！,
