《九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用二次函数求最值 （新版）北京课改版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用二次函数求最值 （新版）北京课改版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线二次函数求最值二次函数求最值的一般步骤：（1）找等量：分析题目中的数量关系，（2）列式：列出函数关系式，（3）求最值的方法：配方法，公式法。方法归纳：二次函数求最值的注意事项：若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，即当x时，y最值；若自变量的取值范围是x1xx2，当在x1xx2内时，有一个最值在x时取得，另一个最值在两端点处取得；当不在x1xx2时，函数的最值在xx1和xx2时取得。总结：1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。2. 会利用二
2、次函数求实际问题的最值。例题1 在关于x，y的二元一次方程组中。（1）若a3，求方程组的解；（2）若Sa（3xy），当a为何值时，S有最值。解析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3xy，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。答案：（1）a3时，方程组为，解得。（2）方程组的两个方程相加得，3xya1，所以Sa（3xy）a（a1）a2a，所以，当a时，S有最小值。点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3xy的表达式是解题的关键。例题2 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销
3、售价x（元）之间的关系满足y2x280x750，由于某种原因，售价只能满足15x22，那么一周可获得的最大利润是多少？解析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在15x22范围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。答案：y2x280x750，y2（x20）21550，a20，抛物线开口向下，函数有最大值，x20时，y最大1550。x20在15x22范围内，y的最大值为1550。点拨：本题考查了二次函数的最值。求二次函数的最值可由图象直接得出，或是用配方法、公式法求出。但要注意自变量的取值范围，特别要注意顶点横坐标是否在题目所给的自变量的取值范围内。在中考试题中，二次函
4、数的应用问题中往往综合考查一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、不等式（组）、等知识点，这些知识与二次函数关系较为密切，理解它们之间的联系是解决这类问题的关键。例：某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩。QW100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比。试行中得到了表中的数据。次数n21速度x4060指数Q420100（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x70，Q450时，求n的值；（3）若n3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n2，x40，能否在n增加
5、m%（m0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。参考公式：抛物线yax2bxc（a0）的顶点坐标是（，）解：（1）设Wk1x2k2nx，Qk1x2k2nx100，由表中数据，得，解得，Qx26nx100。（2）由题意，得450702670n100，n2。（3）当n3时，Qx218x100，由0可知，要使Q最大，x90。（4）由题意，得42040（1m%）262（1m%）40（1m%）100，即2（m%）2m%0，解得m%，或m%0（舍去）。m50。解析：这道题很复杂，各小题都是根据题目所给数量关系列函数表达式或方程，解题思路较为清楚，关键是第（1）
6、题，正确求出Q与x、n的关系式，才能保证正确解答后面的问题。 一、选择题1. 已知二次函数的图象（0x3）如图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最小值0，有最大值3B. 有最小值1，有最大值0C. 有最小值1，有最大值3D. 有最小值1，无最大值2. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为yax2bxc（a0）。若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A. 第8秒B. 第10秒C. 第12秒D. 第15秒3. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最
7、大面积是（ ）A. 600m2B. 625m2C. 650m2D. 675m2*4. 在矩形ABCD的各边AB、BC、CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AEAHCFCG，如果AB60，BC40，四边形EFGH的最大面积是（ ）A. 1350B. 1300C. 1250D. 1200*5. 如图，点C是线段AB上的一个动点，AB1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A. 当C是AB的中点时S最小B. 当C是AB的中点时S最大C. 当C为AB的三等分点时S最小D. 当C为AB的三等分点时S最大*6. 已知m，n，k为非负实数，且mk12k
8、n1，则代数式2k28k6的最小值为（ ）A. 2B. 0C. 2D. 2.5二、填空题7. 当m在可取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是_。*8. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子。根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子。设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种_棵橘子树，橘子总个数最多。*9. 已知实数x、y满足x23xy30，则xy的最大值为_。*10. 设ab0，且函数f1（x）x22ax4b与f2（x）x24ax2b有相同的最小值u；函数f3（x）x22bx4a与f4（x）x24bx2a有相同的最大值v；则uv的值为_。三、解答题
9、11. 已知二次函数yx22ax2a3，请你探求一下，当a满足什么条件时，上述函数y的最小值为零。12. 某商场购进一批单价为4元的日用品。若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系。（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？*13. 科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度/420244.5植物每天高度增长量/mm41494
10、9412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种。（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果。*14. 某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价p（元/千克）的关系如下表：上市时间x（月份）123456市场售价p（元/千克）10.597.564.53这
11、种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图像是抛物线的一段（如图所示）。（1）写出上表中表示的市场售价p（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价种植成本）*15. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P（x60）241（万元）。当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投
12、入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q（100x）2（100x）160（万元）。（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？一、选择题1. C 解析：此抛物线开口向上，有最小值1；在0x3范围内，该二次函数的最大值是3。2. B 解析：此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，抛物
13、线的对称轴是：x10，炮弹所在高度最高时的时间是第10秒，故选B。3. B 解析：设矩形的一边长为x m，则其邻边为（50x）m，若面积为S，则Sx（50x）x250x（x25）2625。10，S有最大值。当x25时，最大值为625。*4. C 解析：设AEAHCFCGx，四边形EFGH的面积是S。由题意，BEDG60x，BFDH40x，则SAHESCGFx2，SDGHSBEF（60x）（40x），所以四边形EFGH的面积为：S6040x2（60x）（40x）2x2（6040）x2（x25）21250（0x40）；当x25时，S最大值1250，故选C。*5. A 解析：设ACx，则CB1x，S
14、x2（1x）22x22x1，所以当x时，S最小。此时，C是AB的中点。故选A。*6. D 解析：m，n，k为非负实数，且mk12kn1，m，n，k最小为0，当n0时，k最大为，0k，2k28k62（k2）22，k2时，代数式2k28k6的值随x的增大而减小，k时，代数式2k28k6的最小值为2（）2862.5，故选：D。二、填空题7. 5 解析：，当m1时，取得最小值为5。*8. 10 解析：假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x100）棵橘子树，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结（6005x）个橘子。果园橘子的总产量为y，则y（x100）（6005x）5x2100x60000，当x10（棵）时，橘子总个数最多。*9. 4 解析：原式可变形为xyx22x3（x1）24，所以当x1时xy的最大值是4。*10.
