《九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》解密二次函数与一次函数的交点问题 （新版）北京课改版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》解密二次函数与一次函数的交点问题 （新版）北京课改版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体（1）一次函数解析式:y=mx+n（m、n为常数且m0）（2）二次函数解析式:y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a0）2. 解题思想数形结合（把交点问题转化为方程问题求解）3. 解题方法求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组 ，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：（1）0一次函数与二次函数有两个交点；（2）=0二次函数与一次函数有一个交点；（3）0
2、二次函数与一次函数没有交点。注意：（2）=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用=0求出参数的值，从而确定所求范围。例 抛物线解析式为： ，直线解析式为： ，分析两图象的交点个数。例题1 （历下区二模）已知二次函数y=x22mx+m24的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D。当m=1时，将函数y=x22mx+m24的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Q。当直线与图象Q有两个公共点时，求实数b的取值范围。答案：令y=0得x22mx+m24=0，解得x1=m2，x2=m+2，A（m2，0），B（m+2，0），D（0，m2
3、4），当m=1时，y=x2+2x3，则A（3，0），B（1，0），顶点为（1，4）因为直线与图象Q有两个公共点，则当直线过A点时，当直线过B（1，0）时，当直线与y=x22x+3只有一个公共点时，根据图象，可得b或b。点拨：弄清直线与Q图象的交点个数的情况是解题的关键，还要注意直线与翻折后抛物线相切时，b的求法。例题2 抛物线y=ax2+bx+3经过A（3，0），B（1，0）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M，直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D。现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上。若平移后抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点
4、，求它的顶点横坐标的取值范围。答案：（1）抛物线解析式y=ax2+bx+3经过A（3，0），B（1，0）两点，解得，抛物线的解析式为y=x2+4x+3。（2）由（1）配方得y=（x+2）21，抛物线的顶点坐标为M（2，1），直线OD的解析式为y=x，于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移后的抛物线的解析式为y=（xh）2+h，当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9。解得h=，当h时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，得x2+（2h+2）x+h2+h9=0，=（2h+2）24（h2+h9）=0，解得h=4，此时抛物线y=（x
5、4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意。平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是或h=4。点拨：当抛物线顶点在某直线上移动时，顶点坐标的表示方法很重要，同时要分析出抛物线与射线有一个交点时的两种情况及求法。【方法总结】二次函数与一次函数的交点问题一般都是已知二次函数解析式，一次函数中含参数，求满足条件的参数的范围。例如：（1） 与 的交点情况，此时可以看成沿y轴上下移动的直线，在移动过程中就可以发现交点的情况；（2）与的交点情况，此时可以看成以（0,1）为中心旋转的直线，在变化过程中就可以发现交点的情况。例题 （海陵区一模）如图所
6、示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与直线y=2x交于点C、D。（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）G、H为线段CD上关于点O对称的两点，且GH=，设直线y=2x沿y轴向上平移的距离为k，在平移的过程中，若线段GH与抛物线有两个公共点，求k的范围。答案：（1）把A（1，0）、B（3，0），代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，与直线y=2x交于点C、D。2x=x2+2x+3，解得x=，点C（，2），点D（，2）。（2）G、H为线段CD上关于点O对称的两点，GH=2，OH=，H在y=2x上，设H的坐标为（a，2a），a2+
7、（2a）2=5，解得a=1，H（1，2），G（1，2）当抛物线y=x2+2x+3，横坐标为1时，y=0，横坐标为1时，y=4，y=2x向上平移2个单位时线段GH正好与抛物线相交，此时k=2，设平移后的直线解析式为：y=2x+k，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，2x+k=x2+2x+3，化简得x2=3k只有3k0，即k3时直线y=2x+k与抛物线有两个交点，综上所述只有当2k3时，GH与抛物线有两个公共点。点拨：在解题过程中找出临界点很重要，即线段与抛物线相切和抛物线恰好过线段两端点。（答题时间：30分钟）一、选择题1.（义乌市）如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任
8、取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2。若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2。例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0。下列判断：当x0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是或。其中正确的是（）A. B. C. D. 2. 如图，抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B。若要使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A. B. C. D. 3. 如图，直线y=kx+
9、b（k0）与抛物线y=ax2（a0）交于A，B两点，且点A的横坐标是2，点B的横坐标是3，则以下结论：抛物线y=ax2（a0）的图象的顶点一定是原点；x0时，直线y=kx+b（k0）与抛物线y=ax2（a0）的函数值都随着x的增大而增大；AB的长度可以等于5；OAB有可能成为等边三角形；当3x2时，ax2+kxb，其中正确的结论是（）A. B. C. D. 4. 如图，直线y=x与抛物线y=ax2（a0）在y轴右侧依次交于A1，A2，A3，An，且OA1=A1A2=A2A3=An1An（n为正整数），其中经过点A1的抛物线为y=x2，则过点An的抛物线为（）A. y= B. y= C. y=n
10、x2 D. y=（n1）x25. 已知抛物线y=kx2（k0）与直线y=ax+b（a0）有两个公共点，它们的横坐标分别为x1、x2，又直线y=ax+b与x轴的交点坐标为（x3，0），则x1、x2、x3满足的关系式是（）A. x1+x2=x3 B. C. D. x1x2+x2x3=x1x3二、填空题6. 如图1，抛物线与直线交于A、B两点。如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字1、1、3、4。随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标，则点P（m，n）落在如图1中抛物线与直线围成的区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是_。
11、7. 已知一直线过点（1，a）且与直线y=3x6平行，与二次函数y=ax2只有一个公共点，则a的值是_。三、解答题8.(德阳）如图，已知抛物线经过点A（2，0）、B（4，0）、C（0，8）。（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线在对称轴的右边的点P作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度？9. （洛阳二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。（1）求抛
12、物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标。1. D 解析： 当x0时，利用函数图象可以得出y2y1；错误； 抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2。若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M； 当x0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；错误； 抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴的交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=2x2+2，最大值为2，故使得M大于2的x值不存在；正确； 使得M=1时，可能是y1=2x2+2=1，解得：x1=，x2
13、=，当y2=2x+2=1，解得：x=，由图象可得出：当x=0，此时对应y1=M， 抛物线y1=2x2+2与x轴的交点坐标为：（1，0），（1，0）， 当1x0，此时对应y2=M，故M=1时，x1=，x2=，使得M=1的x值是或。正确；故正确的有。2. A解析：如图 抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点， x2x=x2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x2=1，当x=时，y=x2=， 点A的坐标为（，），点B的坐标为（1，1）， 抛物线的对称轴方程为：x=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，则直线AB与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点
14、是F， BF=BF，AE=AE， 点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB，延长BB，AA相交于C， AC=+（1）=1，BC=1+= AB= 点P运动的总路径的长为3. B 解析：抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；根据图象得：直线y=kx+b（k0）为增函数；抛物线y=ax2（a0）当x0时为增函数，则x0时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；由A、B的横坐标分别为2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k0矛盾，故AB的长度不可能为5，本选项错误；若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k0矛盾， OAOB，即AOB不可能为等边三角形，本选项错误；直线y=kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：可
