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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用1. 可用二次函数解决的几何问题特点：与面积相关。2. 可用二次函数解决的几何问题类型：三角形、四边形、圆等。3. 建立二次函数模型的依据：三角形、四边形、圆的面积公式。方法归纳（1）在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。（2）在矩形中，设一边为自变量，另一边用自变量表示，则其面积是这一边长的二次函数。（3）在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其
2、面积是这一边长的二次函数。总结：1. 能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。2. 会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。例题1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设ABx m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）A. 4mB. 3mC. 2mD. m解析：根据长方形的面积大三角形的面积两个小三角形的面积确定x与y之间的函数关系式，求出函数值y最大时自变量x的取值即可。答案：根据题意得：y30（5x）x（12），整理得yx212xx25x（）2（x）2150，长方形面积有最大值，当长方形面积最
3、大时，边长x应为m，故选D。点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如yx22x5，y3x26x1等用配方法求解比较简单。例题2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到0.01m2）解析：先将图形分割成半圆和矩形，分别表示各部分的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。本题的突破口是找出圆的
4、半径与小矩形竖直边长之间的关系。答案：设半圆的半径为r m，小矩形的竖直边长为y m，大矩形水平边长为2rm。则4y7rr15，y。设窗户的面积为S，则Sr22ryr22r3.5r27.5r，因为3.50，所以S有最大值。当r1.07（m）时，S最大值4.02（m2）。即当半径约为1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m2。点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找
5、出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化，满分训练 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O。已知AB8米，设抛物线解析式为yax24。（1）求a的值；（2）点C（1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求BCD的面积。解：（1）AB8，由抛物线的性质可知OB4，B（4，0），把B点坐标代入解析式得：16a40，解得：a；（2）过点C作CEAB
6、于E，过点D作DFAB于F，a，yx24，令x1，m（1）24，C（1，），C关于原点的对称点为D，D的坐标为（1，），则CEDF，SBCDSBODSBOCOBDFOBCE4415，BCD的面积为15平方米。分析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。解答这类问题时注意充分利用图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与x轴的交点等。理解线段的长度与点的坐标之间的关系是解题关键。一、选择题1. 设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）A. yx2B. yx2C. yx2D. yx22. 长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x0），
7、面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）A. yx2B. y（12x2）C. y（12x）xD. y2（12x）3. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线ya（x3）2k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（ ）A. 9B. 12C. 18D. 20*4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数yx26x的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8*5. 如图，在矩形ABCD中，ABa，BCb，a3b，AEAHCF
8、CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（ ）A. （ab）2B. （ab）2C. （ab）2D. （ab）2*6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ）二、填空题7. 在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系式为_。8. 如图，已知等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合。让ABC以每
9、秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为_。*9. 如图，ABC是直角三角形，A90，AB8cm，AC6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是_。 *10. 如图所示，从边长为5的正方形纸片ABCD中剪去直角EBF（点E在边AB上，点F在边BC上）。若EBBF，则五边形AEFCD的面积的最小值是_。三、解答题11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体。其中，抽
10、屉底面周长为180cm，高为20cm。请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）。12. 已知抛物线yx22xm1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：ABC是等腰直角三角形。*13. 如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线yx26x上。设OAm（0m3），矩形ABCD的周长为l，求l与m的函数解析式。*14. 用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AEAB，BCAB，C
11、DE。设CDDEx m，五边形ABCDE的面积为S m2。问：怎样设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？*15. 用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。1. D 解析：作出BC边上的高AD。ABC是等边三角形，边长为x，CDx，ADx，yxADx22. C 解析：长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x0），长方形的另一边长为12x，y（12x）x故选C。3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为x3，所以AB6，所以等边三
12、角形ABC的周长为18。*4. C 解析：抛物线与x轴两交点坐标分别为（，0）、（，0），当x2时y412，所以红色区域内在直线x2上的整点有（2，0）和（2，1）；当x3时y，且抛物线的对称轴是x3，所以红色区域内在直线x3上的整点有（3，0）、（3，1）、（3，2）；由抛物线的对称性可知在红色区域内直线x4上的整点有两个。所以满足题意的整点共7个。本题可用数形结合法，画出图象，结果一目了然。*5. B 解析：设AEAHCFCGx，则BEDGax，BFDHbx，设四边形EFGH的面积为y，依题意，得yabx2（ax）（bx），即y2x2（ab）x，20，抛物线开口向下，函数有最大值为（ab）
13、2。故选B。*6. B 解析：设矩形的长为x m，半圆的半径是r m，中间的矩形区域面积是S m2，根据题意知2x2r400。所以S2rxr（4002r）2r2400r，即S是r的二次函数，其图象开口向下，当r时，S取得最大值。此时x100（m），所以，应设计矩形的长为100m，宽约为2r63.7m时，矩形面积最大，故选B。7. yx216 解析：半径为4的圆的面积是16，半径为x的圆的面积是x2，所以函数解析式为yx216。8. y（202t）2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且AM202t，所以重叠部分的面积y（202t）2。9. 16cm2 解析：根据题意，点P沿AB方向以2
14、cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，AP2t，AQt，SAPQt2，0t4，三角形APQ的最大面积是16。10. 23 解析：本题即是求EBF面积的最大值，设其面积为y，yBEBF，因为EBBF，设BEx，则BFx，所以yx（x）x2x。由二次函数的性质可知当x时y取得最大值为y。所以五边形AEFCD的面积的最小值是25。11. 解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为1802x（90x）cm。由题意得：yx（90x）2020（x290x）20（x45）240500，当x45时，y有最大值，最大值为40500。答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3。12. 解：（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明0，即（2）24（m1）0，m2。（2）由（1）得抛物线的解析式是yx22x1，A（0，1），B（1，0），AOB是等腰直角三角形。又ACOB，BACOAB45，A，C是抛物线上一对对称点，ABBC，ABC是等腰直角三角形。*13. 解：把xm代入抛物线
